(A) núcleo de \left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 3 \\\\ 1 & 0 & 5 \\\\ 1 & -3 & -1\end{array}\right].
(B) \operatorname{span}\{(1,1,1),(-1,0,-3),(3,5,-1)\}.
(C) núcleo de \left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ -1 & 0 & -3 \\\\ 3 & 5 & -1\end{array}\right].
(D) \operatorname{span}\{(1,-1,3),(1,0,5),(1,-3,-1)\}.
(E) Não sei
Q9: O conjunto solução do sistema linear abaixo,
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & -1 & 3 & 0 \\\\ 1 & 0 & 5 & 0 \\\\ 1 & -3 & -1 & 0 \end{array}\right]
é o complemento ortogonal de:

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ 1 & 0 & 5\\\\ 1 & -3 & -1 \end{bmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
e pergunta de qual subespaço o conjunto solução é o complemento ortogonal.

Passo 2

Em qualquer sistema homogêneo A x=0 em \mathbb{R}^n, a nulidade de A (o conjunto solução) é exatamente o complemento ortogonal do espaço gerado pelas linhas de A. Ou seja,
\ker(A) \;=\; \bigl(\operatorname{Row}(A)\bigr)^{\perp}.

Passo 3

As linhas de
A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 3\\\\ 1 & 0 & 5\\\\ 1 & -3 & -1 \end{bmatrix}
são os vetores (1,-1,3), (1,0,5) e (1,-3,-1). Logo
\operatorname{Row}(A)=\span\{(1,-1,3),(1,0,5),(1,-3,-1)\}
e a solução do sistema é o complemento ortogonal desse espaço.

Resposta

(D) \displaystyle \span\{(1,-1,3),(1,0,5),(1,-3,-1)\}

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