Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 4 & 2 \\\\ 6 & -1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 5 \\\\ 2 & 6 & 3\end{array}\right], determine:
A .(2 B)

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 3\\\\ 4 & 2\\\\ 6 & -1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 5\\\\ 2 & 6 & 3 \end{pmatrix}
e pede o produto A\cdot(2B). Vamos usar as definições de multiplicação escalar (multiplicar cada entrada de B por 2) e produto de matrizes (cada entrada do produto é o produto interno de uma linha de A com uma coluna de 2B).

Passo 2

Calcular 2B multiplicando cada entrada de B por 2:
2B =\begin{pmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot0 & 2\cdot5\\\\ 2\cdot2 & 2\cdot6 & 2\cdot3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 10\\\\ 4 & 12 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora fazemos A (que é 3\times2) multiplicado por 2B (que é 2\times3). A fórmula é
(A\cdot(2B))_{ij} =\sum_{k=1}^{2}A_{ik}\,(2B)_{kj}.
Calculamos linha a linha:
  • Primeira linha de A é (1,3).
    (A\cdot(2B))_{11}=1\cdot2+3\cdot4=2+12=14 (A\cdot(2B))_{12}=1\cdot0+3\cdot12=0+36=36 (A\cdot(2B))_{13}=1\cdot10+3\cdot6=10+18=28

Passo 4

Continuando com a segunda e a terceira linha de A:
  • Segunda linha de A é (4,2).
    (A\cdot(2B))_{21}=4\cdot2+2\cdot4=8+8=16 (A\cdot(2B))_{22}=4\cdot0+2\cdot12=0+24=24 (A\cdot(2B))_{23}=4\cdot10+2\cdot6=40+12=52 - Terceira linha de A é (6,-1).
    (A\cdot(2B))_{31}=6\cdot2+(-1)\cdot4=12-4=8 (A\cdot(2B))_{32}=6\cdot0+(-1)\cdot12=0-12=-12 (A\cdot(2B))_{33}=6\cdot10+(-1)\cdot6=60-6=54

Resposta

A\cdot(2B) =\begin{pmatrix} 14 & 36 & 28\\\\ 16 & 24 & 52\\\\ 8 & -12 & 54 \end{pmatrix}.

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