Dada a matriz A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], calcule A^{2} e verifique se A é uma matriz idempotente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o quadrado da matriz
e, em seguida, verificar se A é idempotente, ou seja, se satisfaz \,A^2 = A. Para isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes: o elemento (i,j) de A^2 é o produto escalar da linha i de A com a coluna j de A.
Passo 2
Calculando cada entrada de A^2 = A \cdot A:
Entrada (1,1): linha 1\cdot coluna 1
2\cdot2 + 1\cdot1 + 0\cdot0 = 4 + 1 + 0 = 5.
Entrada (1,2): linha 1\cdot coluna 2
2\cdot1 + 1\cdot2 + 0\cdot0 = 2 + 2 + 0 = 4.
Entrada (1,3): linha 1\cdot coluna 3
2\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0.
Pela simetria da primeira submatriz 2\times2, a segunda linha dará espelho: