Dada a matriz A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], calcule A^{2} e verifique se A é uma matriz idempotente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quadrado da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e, em seguida, verificar se A é idempotente, ou seja, se satisfaz \,A^2 = A. Para isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes: o elemento (i,j) de A^2 é o produto escalar da linha i de A com a coluna j de A.

Passo 2

Calculando cada entrada de A^2 = A \cdot A:
  1. Entrada (1,1): linha 1\cdot coluna 1
2\cdot2 + 1\cdot1 + 0\cdot0 = 4 + 1 + 0 = 5.
  1. Entrada (1,2): linha 1\cdot coluna 2
2\cdot1 + 1\cdot2 + 0\cdot0 = 2 + 2 + 0 = 4.
  1. Entrada (1,3): linha 1\cdot coluna 3
2\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 0.
Pela simetria da primeira submatriz 2\times2, a segunda linha dará espelho:
  1. Entrada (2,1):
1\cdot2 + 2\cdot1 + 0\cdot0 = 4.
  1. Entrada (2,2):
1\cdot1 + 2\cdot2 + 0\cdot0 = 1 + 4 = 5.
  1. Entrada (2,3):
1\cdot0 + 2\cdot0 + 0\cdot1 = 0.
Para a terceira linha:
  1. Entrada (3,1) e (3,2):
0\cdot2 + 0\cdot1 + 1\cdot0 = 0, \quad 0\cdot1 + 0\cdot2 + 1\cdot0 = 0.
  1. Entrada (3,3):
0\cdot0 + 0\cdot0 + 1\cdot1 = 1.
Assim,
A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 0\\\\ 4 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para A ser idempotente, precisaríamos ter A^2 = A. Comparando entrada a entrada:
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^2 = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 0\\\\ 4 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como (1,1) de A^2 é 5\neq2 e (1,2) é 4\neq1, conclui­-se que A^2\neq A.

Resposta

A^2 = \displaystyle\begin{pmatrix}5 & 4 & 0\\\ 4 & 5 & 0\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} A não é idempotente, pois A^2 \neq A.

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