Dadas as matrizes:
A=\left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\\\ 3 & 1 \\\\ 7 & -4 \\\\ 5 & 9 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{llll} 1 & 3 & -5 & -7 \\\\ 6 & 2 & -8 & 3 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{cc} 2 & 4 \\\\ -3 & 5 \end{array}\right] e\\\ D=\left[\begin{array}{rrrr} 1 & 7 & 3 & -8 \\\\ -3 & -1 & -1 & -3 \\\\ 4 & 1 & 9 & 0 \\\\ 5 & 3 & 2 & -3 \end{array}\right]
Calcular A (BD).

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A\in\mathbb{R}^{4\times2},\quad B\in\mathbb{R}^{2\times4},\quad C\in\mathbb{R}^{2\times2},\quad D\in\mathbb{R}^{4\times4}
e pede para calcular A\,(B\,D). O conteúdo envolvido é a multiplicação de matrizes, cujo conceito é: se X é m\times n e Y é n\times p, então o produto XY é bem definido e resulta numa matriz m\times p cujos elementos são
(XY)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{n}X_{ik}\,Y_{kj}.
Vamos aplicar isso em duas etapas: primeiro B\,D, depois A\,(B\,D).

Passo 2

Calcular B\,D. Como B é 2\times4 e D é 4\times4, o produto é 2\times4. Fazendo as somas de produtos linha-coluna, obtemos
B\,D = \begin{pmatrix} -63 & -22 & -59 & 4 \\\\ -17 & 41 & -50 & -63 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora multiplicar A (que é 4\times2) por B\,D (que é 2\times4). O resultado será uma matriz 4\times4. Novamente usamos
(A\,(B\,D))_{ij} =\sum_{k=1}^{2}A_{ik}\,(B\,D)_{kj}.
Calculando linha a linha, chegamos a
A\,(B\,D) = \begin{pmatrix} -29 & -104 & 41 & 130 \\\\ -206 & -25 & -227 & -51 \\\\ -373 & -318 & -213 & 280 \\\\ -468 & 259 & -745 & -547 \end{pmatrix}.

Resposta

A\,(B\,D) = \begin{pmatrix} -29 & -104 & 41 & 130 \\\\ -206 & -25 & -227 & -51 \\\\ -373 & -318 & -213 & 280 \\\\ -468 & 259 & -745 & -547 \end{pmatrix}.

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