Sabendo que v_{1}, v_{2} \mathrm{e} v_{3} são vetores linearmente independentes do espaço vetorial V. Investigar a dependência ou independência linear dos seguintes vetores
\left\{v_{1}+a v_{2}+b v_{3}, v_{2}+c v_{3}, v_{3}\right\}
\left\{v_{1}, v_{2}+a v_{3}, v_{3}+b v_{2}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a independência linear de dois conjuntos de vetores em função de parâmetros a,b,c, sabendo que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é uma base (logo independente) de um espaço vetorial V. O conteúdo é definição de independência linear: um conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é independente se a única combinação
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}=0
é \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.

Passo 2

Considere o primeiro conjunto
u_{1}=v_{1}+a\,v_{2}+b\,v_{3},\quad u_{2}=v_{2}+c\,v_{3},\quad u_{3}=v_{3}.
Forme
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3} =\alpha_{1}v_{1}+(\alpha_{1}a+\alpha_{2})v_{2}+(\alpha_{1}b+\alpha_{2}c+\alpha_{3})v_{3}=0.
Pela independência de \{v_{1},v_{2},v_{3}\}\) segue o sistema \[\begin{cases} \alpha_{1}=0,\\\ \alpha_{1}a+\alpha_{2}=0\implies\alpha_{2}=0,\\\ \alpha_{1}b+\alpha_{2}c+\alpha_{3}=0\implies\alpha_{3}=0. \end{cases}
Logo só a solução trivial existe, e o conjunto é sempre independente, para quaisquer (a,b,c].

Passo 3

Agora o segundo conjunto
u_{1}=v_{1},\quad u_{2}=v_{2}+a\,v_{3},\quad u_{3}=v_{3}+b\,v_{2}.
Considere
\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\lambda_{3}u_{3} =\lambda_{1}v_{1}+(\lambda_{2}+b\lambda_{3})v_{2}+(\,a\lambda_{2}+\lambda_{3})v_{3}=0.
Isto leva ao sistema
\begin{cases} \lambda_{1}=0,\\\ \lambda_{2}+b\lambda_{3}=0\implies\lambda_{2}=-b\lambda_{3},\\\ a\lambda_{2}+\lambda_{3}=0\implies(-a b+1)\lambda_{3}=0. \end{cases}
Se ab\neq1, então \lambda_{3}=0 e assim \lambda_{2}=0, restando só a solução trivial. Se ab=1, sobra grau de liberdade \lambda_{3}\neq0 e o conjunto é dependente.

Resposta

O primeiro conjunto \{v_{1}+a\,v_{2}+b\,v_{3},\,v_{2}+c\,v_{3},\,v_{3}\} é linearmente independente para quaisquer a,b,c.
O segundo conjunto \{v_{1},\,v_{2}+a\,v_{3},\,v_{3}+b\,v_{2}\} é linearmente independente se, e somente se, a\,b\neq1 (e é dependente quando a\,b=1).

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