Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -5 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cccc}-3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & -4 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2\end{array}\right], determine:
B^{-1};

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular inferior
B=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & 0\\\\ 3 & -4 & 0 & 0\\\\ 2 & 2 & -1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}
e pede B^{-1}. O conteúdo é inversão de matriz triangular inferior, que faremos coluna a coluna resolvendo
B\,x = e_j
por substituição progressiva, onde e_j é o j-ésimo vetor canônico.

Passo 2

Como B é triangular inferior e todos os elementos da diagonal -3,-4,-1,-2 são não nulos, ela é invertível e a inversa será também triangular inferior. Para cada coluna j de B^{-1} resolvemos
B\,(x_1,x_2,x_3,x_4)^T = e_j
em que na linha i só aparecem x_1,\dots,x_i, permitindo achar x_1 na primeira equação, depois x_2, e assim por diante.

Passo 3

Coluna 1: resolvemos
B\begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha -3a=1 vem a=-\tfrac13.
Da segunda linha 3a-4b=0 -1-4b=0 e b=-\tfrac14.
Da terceira linha 2a+2b-c=0 -\tfrac23-\tfrac12-c=0 e c=-\tfrac76.
Da quarta linha 2a+b+c-2d=0 -\tfrac{25}{12}-2d=0 e d=-\tfrac{25}{24}.
Logo, a primeira coluna de B^{-1} é \bigl(-\tfrac13,\,-\tfrac14,\,-\tfrac76,\,-\tfrac{25}{24}\bigr)^T.

Passo 4

Coluna 2: resolvemos
B\begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha -3a=0 vem a=0.
Da segunda linha 3a-4b=1 -4b=1 e b=-\tfrac14.
Da terceira linha 2a+2b-c=0 -\tfrac12-c=0 e c=-\tfrac12.
Da quarta linha 2a+b+c-2d=0 -\tfrac34-2d=0 e d=-\tfrac38.
Assim, a segunda coluna é \bigl(0,\,-\tfrac14,\,-\tfrac12,\,-\tfrac38\bigr)^T.

Passo 5

Coluna 3: resolvemos
B\begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha -3a=0 vem a=0.
Da segunda linha 3a-4b=0 b=0.
Da terceira linha 2a+2b-c=1 -c=1 e c=-1.
Da quarta linha 2a+b+c-2d=0 -1-2d=0 e d=-\tfrac12.
Logo, a terceira coluna é \bigl(0,0,-1,-\tfrac12\bigr)^T.

Passo 6

Coluna 4: resolvemos
B\begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Das três primeiras linhas vem a=b=c=0.
Da quarta linha 2a+b+c-2d=1 -2d=1 e d=-\tfrac12.
Portanto, a quarta coluna é \bigl(0,0,0,-\tfrac12\bigr)^T.

Resposta

B^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\\\ -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} & 0 & 0\\\\ -\tfrac{7}{6} & -\tfrac{1}{2} & -1 & 0\\\\ -\tfrac{25}{24} & -\tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}.

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