Calcule o determinante da matriz abaixo e determine sua inversa, se esta existir;
B=\left[\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz B\in\mathbb R^{6\times6} e pede o determinante e, caso exista, a inversa. Vamos usar a teoria de matrizes de permutação assinadas: toda matriz em que cada coluna e cada linha tem exatamente um elemento não nulo igual a \pm1 corresponde a uma permutação de vetores-canônicos acompanhada de possíveis trocas de sinal. O determinante será o produto do sinal da permutação pelo produto dos sinais das entradas não nulas, e a inversa, se existir, será simplesmente a transposta, pois essas matrizes são ortogonais.

Passo 2

Interpretamos B como a matriz que faz
B e_1 = -e_3,\quad B e_2 = -e_5,\quad B e_3 = -e_6,\quad B e_4 = e_1,\quad B e_5 = e_4,\quad B e_6 = e_2.
Isso corresponde à permutação ciclíca (1\;3\;6\;2\;5\;4) (um ciclo de comprimento 6) acompanhada de três trocas de sinal nas imagens de e_1,e_2,e_3.

Passo 3

O ciclo de comprimento 6 tem paridade ímpar, pois pode ser decomposto em 5 transposições seguidas; seu sinal é
\text{signo\_perm} = (-1)^{6-1} = -1.
As três trocas de sinal (colunas 1,2,3) contribuem com
\text{prod\_sinais} = (-1)^3 = -1.
Assim
\det(B) = \text{signo\_perm}\times\text{prod\_sinais} = (-1)\times(-1)=1.

Passo 4

Como \det(B)=1\neq0, a inversa existe. Além disso, matrizes de permutação assinadas são ortogonais, isto é,
B^{-1}=B^{T}.

Passo 5

Calculando a transposta de B, obtemos
B^{-1}=B^{T} =\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

\det(B)=1.
B^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados