O enunciado nos dá a matriz B\in\mathbb R^{6\times6} e pede o determinante e, caso exista, a inversa. Vamos usar a teoria de matrizes de permutação assinadas: toda matriz em que cada coluna e cada linha tem exatamente um elemento não nulo igual a \pm1 corresponde a uma permutação de vetores-canônicos acompanhada de possíveis trocas de sinal. O determinante será o produto do sinal da permutação pelo produto dos sinais das entradas não nulas, e a inversa, se existir, será simplesmente a transposta, pois essas matrizes são ortogonais.
Passo 2
Interpretamos B como a matriz que faz
B e_1 = -e_3,\quad B e_2 = -e_5,\quad B e_3 = -e_6,\quad B e_4 = e_1,\quad B e_5 = e_4,\quad B e_6 = e_2.
Isso corresponde à permutação ciclíca (1\;3\;6\;2\;5\;4) (um ciclo de comprimento 6) acompanhada de três trocas de sinal nas imagens de e_1,e_2,e_3.
Passo 3
O ciclo de comprimento 6 tem paridade ímpar, pois pode ser decomposto em 5 transposições seguidas; seu sinal é
\text{signo\_perm} = (-1)^{6-1} = -1.
As três trocas de sinal (colunas 1,2,3) contribuem com