Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -5 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{rrrr}-3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & -4 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2\end{array}\right], determine:
A^{-1}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -5 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
e pede para determinar A^{-1}. Não é necessário usar a matriz B para esta parte; vamos calcular a inversa de A.]

Passo 2

Estratégia e ideia matemática (explicação didática). Para encontrar A^{-1} podemos resolver o sistema matricial
A X = I,
onde X é a matriz incógnita que será A^{-1} e I é a matriz identidade 4\times4. Isso equivale a resolver, para cada coluna j, o sistema linear
A x^{(j)} = e^{(j)},
onde e^{(j)} é o j-ésimo vetor coluna da identidade e x^{(j)} será a j-ésima coluna de A^{-1}.
Observação útil: A é triangular superior. Para matrizes triangulares superiores, a inversa também é triangular superior, e podemos usar substituição regressiva (back substitution): resolvemos as equações começando pela última linha e subindo. Além disso, os elementos da diagonal de A^{-1} são os recíprocos dos elementos da diagonal de A, ou seja, já esperamos diagonal de A^{-1} igual a \operatorname{diag}\!\big(1,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{3}\big). Agora vamos calcular coluna a coluna, escrevendo as equações linha a linha e resolvendo de baixo para cima.

Passo 3

Coluna 1: resolver A x = e^{(1)} com e^{(1)}=(1,0,0,0)^T.
Escrevendo as equações das linhas (da 4 para a 1):
linha 4:
3 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4=0.
linha 3:
4 x_3 -2 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3=0.
linha 2:
2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2=0.
linha 1:
x_1 -5 x_2 -1 x_3 +2 x_4 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1.
Portanto a primeira coluna de A^{-1} é
x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Coluna 2: resolver A x = e^{(2)} com e^{(2)}=(0,1,0,0)^T.
linha 4:
3 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4=0.
linha 3:
4 x_3 -2 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3=0.
linha 2:
2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 = 1 \quad\Rightarrow\quad 2 x_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_2=\tfrac{1}{2}.
linha 1:
x_1 -5 x_2 -1 x_3 +2 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 -5\cdot\tfrac{1}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=\tfrac{5}{2}.
Portanto a segunda coluna de A^{-1} é
x^{(2)}=\begin{pmatrix}\tfrac{5}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Coluna 3: resolver A x = e^{(3)} com e^{(3)}=(0,0,1,0)^T.
linha 4:
3 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4=0.
linha 3:
4 x_3 -2 x_4 = 1 \quad\Rightarrow\quad 4 x_3 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_3=\tfrac{1}{4}.
linha 2:
2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 x_2 -3\cdot\tfrac{1}{4}=0 \quad\Rightarrow\quad 2 x_2 = \tfrac{3}{4} \quad\Rightarrow\quad x_2=\tfrac{3}{8}.
linha 1:
x_1 -5 x_2 -1 x_3 +2 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 -5\cdot\tfrac{3}{8} - \tfrac{1}{4} = 0.
Calcule 5\cdot\tfrac{3}{8}=\tfrac{15}{8} e \tfrac{1}{4}=\tfrac{2}{8}, então
x_1 - \frac{15}{8} - \frac{2}{8} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{17}{8}.
Portanto a terceira coluna de A^{-1} é
x^{(3)}=\begin{pmatrix}\tfrac{17}{8}\\[4pt]\tfrac{3}{8}\\[4pt]\tfrac{1}{4}\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Coluna 4: resolver A x = e^{(4)} com e^{(4)}=(0,0,0,1)^T.
linha 4:
3 x_4 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_4=\tfrac{1}{3}.
linha 3:
4 x_3 -2 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4 x_3 = 2 x_4 = 2\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad x_3=\tfrac{1}{6}.
linha 2:
2 x_2 -3 x_3 +4 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 x_2 -3\cdot\tfrac{1}{6} +4\cdot\tfrac{1}{3}=0.
Calcule -3\cdot\tfrac{1}{6}=-\tfrac{1}{2} e 4\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}. Somando -\tfrac{1}{2}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{5}{6}. Então
2 x_2 + \tfrac{5}{6} = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 x_2 = -\tfrac{5}{6} \quad\Rightarrow\quad x_2 = -\tfrac{5}{12}.
linha 1:
x_1 -5 x_2 -1 x_3 +2 x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 -5\Big(-\tfrac{5}{12}\Big) - \tfrac{1}{6} + 2\cdot\tfrac{1}{3}=0.
Calcule -5\cdot(-\tfrac{5}{12})=\tfrac{25}{12}, -\tfrac{1}{6}=-\tfrac{2}{12}, 2\cdot\tfrac{1}{3}=\tfrac{8}{12}. Somando \tfrac{25}{12}-\tfrac{2}{12}+\tfrac{8}{12}=\tfrac{31}{12}. Então
x_1 + \tfrac{31}{12} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -\tfrac{31}{12}.
Portanto a quarta coluna de A^{-1} é
x^{(4)}=\begin{pmatrix}-\tfrac{31}{12}\\[4pt]-\tfrac{5}{12}\\[4pt]\tfrac{1}{6}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Montando as colunas calculadas, obtemos a matriz inversa A^{-1}. Note que é triangular superior, com a diagonal sendo os recíprocos dos elementos da diagonal de A, conforme esperado.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{5}{2} & \tfrac{17}{8} & -\tfrac{31}{12}\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{5}{12}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{6}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}]

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