Dadas as matrizes A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -5 & -1 & 2 \\\\ 0 & 2 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 4 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{rrrr}-3 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & -4 & 0 & 0 \\\\ 2 & 2 & -1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 & -2\end{array}\right], determine:
B^{-1}

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{bmatrix} 1 & -5 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -3 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 4 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \qquad\text{e}\qquad B=\begin{bmatrix} -3 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 3 & -4 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1 & -2 \end{bmatrix}.
O que se pede é determinar B^{-1}, a inversa da matriz B.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os elementos de B estão explícitos (mostrados acima).
  • B é uma matriz quadrada 4\times4.
  • A tarefa é encontrar explicitamente B^{-1}.]

Passo 2

Observação útil (explicação do método que vou usar). A matriz B é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são 0). Para uma matriz triangular inferior inversível (diagonais não nulas), a inversa também é triangular inferior. Uma maneira prática de achar B^{-1} é construir coluna a coluna: para cada j=1,2,3,4 resolvemos o sistema
B\,x^{(j)} = e_j,
onde e_j é o vetor coluna canônico com 1 na posição j e 0 nas demais, e x^{(j)} será a j-ésima coluna de B^{-1}. Esse procedimento usa substituição para frente (forward substitution): como B é triangular inferior, cada equação envolve apenas as incógnitas já encontradas acima ou a própria incógnita, então resolvemos da primeira linha até a última linha de forma sequencial. Vou aplicar esse método e mostrar todas as contas passo a passo.

Passo 3

Encontrar a primeira coluna de B^{-1}: resolver B x^{(1)} = e_1. Denotando x^{(1)}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{\mathsf{T}}, o sistema é, linha a linha,
\begin{aligned} -3x_1 &= 1,\\[4pt] 3x_1-4x_2 &= 0,\\[4pt] 2x_1+2x_2 - x_3 &= 0,\\[4pt] 2x_1 + x_2 + x_3 -2x_4 &= 0. \end{aligned}
Resolvendo em ordem:
-3x_1=1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = -\tfrac{1}{3}.
Substituindo em segunda equação:
3\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)-4x_2=0 \quad\Rightarrow\quad -1-4x_2=0 \quad\Rightarrow\quad x_2=-\tfrac{1}{4}.
Terceira equação:
2\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)+2\Big(-\tfrac{1}{4}\Big)-x_3=0.
Calcular os termos: 2(-\tfrac{1}{3})=-\tfrac{2}{3} e 2(-\tfrac{1}{4})=-\tfrac{1}{2}. Então
-\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{2}-x_3=0 \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{7}{6}-x_3=0 \quad\Rightarrow\quad x_3=-\tfrac{7}{6}.
Quarta equação:
2\Big(-\tfrac{1}{3}\Big)+\Big(-\tfrac{1}{4}\Big)+\Big(-\tfrac{7}{6}\Big)-2x_4=0.
Somando as constantes: -\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{4}-\tfrac{7}{6}=-\tfrac{25}{12}. Assim
-\tfrac{25}{12}-2x_4=0 \quad\Rightarrow\quad x_4=\tfrac{25}{24}.
Portanto a primeira coluna é
x^{(1)}=\begin{bmatrix}-\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{1}{4}\\[4pt]-\tfrac{7}{6}\\[4pt]\tfrac{25}{24}\end{bmatrix}.]

Passo 4

Encontrar a segunda coluna: resolver B x^{(2)} = e_2. Denotando x^{(2)}=(y_1,y_2,y_3,y_4)^{\mathsf{T}}, o sistema é
\begin{aligned} -3y_1 &= 0,\\[4pt] 3y_1-4y_2 &= 1,\\[4pt] 2y_1+2y_2 - y_3 &= 0,\\[4pt] 2y_1 + y_2 + y_3 -2y_4 &= 0. \end{aligned}
Resolvendo:
-3y_1=0 \Rightarrow y_1=0.
Segunda equação:
3\cdot 0 -4y_2 =1 \Rightarrow y_2 = -\tfrac{1}{4}.
Terceira:
2\cdot 0 +2\Big(-\tfrac{1}{4}\Big)-y_3=0 \Rightarrow -\tfrac{1}{2}-y_3=0 \Rightarrow y_3=-\tfrac{1}{2}.
Quarta:
0 +\Big(-\tfrac{1}{4}\Big)+\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)-2y_4=0 \Rightarrow -\tfrac{3}{4}-2y_4=0 \Rightarrow y_4=\tfrac{3}{8}.
Assim
x^{(2)}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]-\tfrac{1}{4}\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{3}{8}\end{bmatrix}.]

Passo 5

Encontrar a terceira coluna: resolver B x^{(3)} = e_3. Denotando x^{(3)}=(z_1,z_2,z_3,z_4)^{\mathsf{T}}, o sistema é
\begin{aligned} -3z_1 &= 0,\\[4pt] 3z_1-4z_2 &= 0,\\[4pt] 2z_1+2z_2 - z_3 &= 1,\\[4pt] 2z_1 + z_2 + z_3 -2z_4 &= 0. \end{aligned}
Resolvendo:
z_1=0,\qquad -4z_2=0\Rightarrow z_2=0.
Terceira equação:
0+0 - z_3 = 1 \Rightarrow z_3 = -1.
Quarta:
0+0+(-1)-2z_4=0 \Rightarrow -1-2z_4=0 \Rightarrow z_4 = -\tfrac{1}{2}.
Logo
x^{(3)}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]-1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 6

Encontrar a quarta coluna: resolver B x^{(4)} = e_4. Denotando x^{(4)}=(w_1,w_2,w_3,w_4)^{\mathsf{T}}, o sistema é
\begin{aligned} -3w_1 &= 0,\\[4pt] 3w_1-4w_2 &= 0,\\[4pt] 2w_1+2w_2 - w_3 &= 0,\\[4pt] 2w_1 + w_2 + w_3 -2w_4 &= 1. \end{aligned}
Resolvendo em ordem:
w_1=0,\quad w_2=0,\quad w_3=0.
Quarta equação:
0+0+0 -2w_4 =1 \Rightarrow w_4 = -\tfrac{1}{2}.
Portanto
x^{(4)}=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{bmatrix}.]

Passo 7

Agora juntamos as colunas x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)} para formar B^{-1}. Como esperado, B^{-1} é triangular inferior. Reescrevendo todas as entradas em forma de matriz:
B^{-1}= \begin{bmatrix} -\tfrac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\[6pt] -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} & 0 & 0\\[6pt] -\tfrac{7}{6} & -\tfrac{1}{2} & -1 & 0\\[6pt] \tfrac{25}{24} & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}.]

Resposta

B^{-1}= \begin{bmatrix} -\tfrac{1}{3} & 0 & 0 & 0\\[6pt] -\tfrac{1}{4} & -\tfrac{1}{4} & 0 & 0\\[6pt] -\tfrac{7}{6} & -\tfrac{1}{2} & -1 & 0\\[6pt] \tfrac{25}{24} & \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}]

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