O que se pede é determinar B^{-1}, a inversa da matriz B.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Os elementos de B estão explícitos (mostrados acima).
B é uma matriz quadrada 4\times4.
A tarefa é encontrar explicitamente B^{-1}.]
Passo 2
Observação útil (explicação do método que vou usar). A matriz B é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são 0). Para uma matriz triangular inferior inversível (diagonais não nulas), a inversa também é triangular inferior. Uma maneira prática de achar B^{-1} é construir coluna a coluna: para cada j=1,2,3,4 resolvemos o sistema
B\,x^{(j)} = e_j,
onde e_j é o vetor coluna canônico com 1 na posição j e 0 nas demais, e x^{(j)} será a j-ésima coluna de B^{-1}. Esse procedimento usa substituição para frente (forward substitution): como B é triangular inferior, cada equação envolve apenas as incógnitas já encontradas acima ou a própria incógnita, então resolvemos da primeira linha até a última linha de forma sequencial. Vou aplicar esse método e mostrar todas as contas passo a passo.
Passo 3
Encontrar a primeira coluna de B^{-1}: resolver B x^{(1)} = e_1. Denotando x^{(1)}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{\mathsf{T}}, o sistema é, linha a linha,
Agora juntamos as colunas x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)} para formar B^{-1}. Como esperado, B^{-1} é triangular inferior. Reescrevendo todas as entradas em forma de matriz: