Verdadeiro ou falso?
Passo 1
O enunciado pergunta se a igualdade
é verdadeira ou falsa, para
e
quaisquer. Vou assumir que
e
são números reais (ou, mais geralmente, elementos de uma estrutura onde multiplicação e adição estão definidas). Dados relevantes: a expressão
significa o oposto (aditivo) de
, e o mesmo para
. A pergunta é: ao multiplicar os opostos, obtém-se o produto dos originais?
Passo 2
Primeiro, reescrever o sinal menos como multiplicação por
. Por definição do oposto aditivo:
Explicação didática: o oposto de um número
é o mesmo que multiplicar
por
. Isso vale para números, e também para incógnitas ou matrizes quando o escalar
atua naturalmente.
Passo 3
Faça a multiplicação usando as expressões acima:
Pelo associatividade da multiplicação (podemos agrupar fatores) e pela comutatividade dos escalares com
e
(no caso de números ou escalares agindo sobre objetos), isto é
Explicação didática: estamos apenas juntando os
iniciais e deixando
e
multiplicarem depois.
Passo 4
Agora precisamos avaliar
. Use a propriedade distributiva e o fato de que
. Comece por:
Pela distributividade,
Como
e
, obtemos
Somando
em ambos os lados,
Explicação didática: essa é a prova padrão de que o produto de dois negativos
é
; não é uma definição, é uma consequência das axiomas da adição e multiplicação.
Passo 5
Substituindo o resultado em
:
Portanto, a igualdade vale. Exemplo concreto para fixar:
, que é igual a
.
Passo 6
Observações finais (úteis na prova):
- A razão acima vale para números reais e, com pequenos cuidados, em qualquer anel (estrutura algébrica) onde exista o elemento
e valham as propriedades usuais (associatividade, distributividade, etc.). - Para matrizes também vale:
porque e o escalar comuta com matrizes, então leva ao mesmo resultado. - Se
ou for , a igualdade continua correta: .
Resposta
Verdadeiro