Verdadeiro ou falso?
(-\mathrm{A})(-\mathrm{B})=\mathrm{AB}

Passo 1

O enunciado pergunta se a igualdade (-A)(-B)=AB é verdadeira ou falsa, para A e B quaisquer. Vou assumir que A e B são números reais (ou, mais geralmente, elementos de uma estrutura onde multiplicação e adição estão definidas). Dados relevantes: a expressão (-A) significa o oposto (aditivo) de A, e o mesmo para (-B). A pergunta é: ao multiplicar os opostos, obtém-se o produto dos originais?

Passo 2

Primeiro, reescrever o sinal menos como multiplicação por -1. Por definição do oposto aditivo:
(-A)=(-1)\,A,\qquad (-B)=(-1)\,B.
Explicação didática: o oposto de um número A é o mesmo que multiplicar A por -1. Isso vale para números, e também para incógnitas ou matrizes quando o escalar -1 atua naturalmente.

Passo 3

Faça a multiplicação usando as expressões acima:
(-A)(-B)=\big((-1)\,A\big)\big((-1)\,B\big).
Pelo associatividade da multiplicação (podemos agrupar fatores) e pela comutatividade dos escalares com A e B (no caso de números ou escalares agindo sobre objetos), isto é
(-A)(-B)=(-1)(-1)\,A B.
Explicação didática: estamos apenas juntando os (-1) iniciais e deixando A e B multiplicarem depois.

Passo 4

Agora precisamos avaliar (-1)(-1). Use a propriedade distributiva e o fato de que 1+(-1)=0. Comece por:
0 = (-1)\cdot 0 = (-1)\cdot\big(1+(-1)\big).
Pela distributividade,
(-1)\cdot 0 = (-1)\cdot 1 + (-1)\cdot(-1).
Como (-1)\cdot 0=0 e (-1)\cdot 1 = -1, obtemos
0 = -1 + (-1)(-1).
Somando 1 em ambos os lados,
(-1)(-1)=1.
Explicação didática: essa é a prova padrão de que o produto de dois negativos -1 é +1; não é uma definição, é uma consequência das axiomas da adição e multiplicação.

Passo 5

Substituindo o resultado em (-1)(-1)\,A B:
(-A)(-B)=1\cdot A B = A B.
Portanto, a igualdade vale. Exemplo concreto para fixar: (-2)(-3)=6, que é igual a 2\cdot 3.

Passo 6

Observações finais (úteis na prova):
  • A razão acima vale para números reais e, com pequenos cuidados, em qualquer anel (estrutura algébrica) onde exista o elemento -1 e valham as propriedades usuais (associatividade, distributividade, etc.).
  • Para matrizes também vale: (-A)(-B)=AB porque (-A)=(-1)A e o escalar -1 comuta com matrizes, então (-1)(-1)=1 leva ao mesmo resultado.
  • Se A ou B for 0, a igualdade continua correta: (-0)(-B)=0\cdot B=0.

Resposta

Verdadeiro

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