Sejam as matrizes
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -1 & 5 \\\\ 1 & -1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 1 & 4 & 3 \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ccc} 4 & 3 & 1 \\\\ 0 & 3 & 2 \\\\ -2 & 1 & 4 \\\\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right],
C=A \cdot B e D=B \cdot A. Determine os elementos c_{23} e d_{41}.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 5 \\\\ 1 & -1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 1 & 4 & 3 \end{bmatrix},\qquad B=\begin{bmatrix} 4 & 3 & 1 \\\\ 0 & 3 & 2 \\\\ -2 & 1 & 4 \\\\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix},
define C=A\cdot B e D=B\cdot A e pede os elementos c_{23} (linha 2, coluna 3 de C) e d_{41} (linha 4, coluna 1 de D).
Informações relevantes extraídas:
  • A tem dimensão 3\times4 (3 linhas, 4 colunas).
  • B tem dimensão 4\times3 (4 linhas, 3 colunas).
  • Logo C=A\cdot B tem dimensão 3\times3 e D=B\cdot A tem dimensão 4\times4.
  • Linha 2 de A é \bigl(1,\,-1,\,3,\,2\bigr).
  • Coluna 3 de B é \begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]4\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • Linha 4 de B é \bigl(-1,\,2,\,1\bigr).
  • Coluna 1 de A é \begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 2

Relembrando como calcular um elemento de um produto de matrizes: se A é m\times n e B é n\times p, então o produto AB é m\times p e cada elemento é dado por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj},
ou seja, o elemento na linha i, coluna j é o produto escalar (dot product) entre a linha i de A e a coluna j de B. Vou usar exatamente essa regra para calcular c_{23} e d_{41}.

Passo 3

Cálculo de c_{23}. Pelo formato, para C=A\cdot B vale
c_{23}=\sum_{k=1}^{4} a_{2k}\,b_{k3}.
Substituindo os termos (peguei a linha 2 de A e a coluna 3 de B conforme listados no Passo 1):
c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}+a_{24}b_{43}.
Agora os números:
c_{23}=1\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 3\cdot 4 + 2\cdot 1.
Calcule passo a passo:
1\cdot 1 = 1,\qquad (-1)\cdot 2 = -2,\qquad 3\cdot 4 = 12,\qquad 2\cdot 1 = 2.
Somando:
c_{23}=1-2+12+2=13.

Passo 4

Cálculo de d_{41}. Para D=B\cdot A (onde B é 4\times3 e A é 3\times4) temos
d_{41}=\sum_{k=1}^{3} b_{4k}\,a_{k1}.
Substituindo a linha 4 de B e a coluna 1 de A (conforme listados no Passo 1):
d_{41}=b_{41}a_{11}+b_{42}a_{21}+b_{43}a_{31}.
Agora os números:
d_{41}=(-1)\cdot 1 + 2\cdot 1 + 1\cdot 0.
Calcule passo a passo:
(-1)\cdot 1 = -1,\qquad 2\cdot 1 = 2,\qquad 1\cdot 0 = 0.
Somando:
d_{41}=-1+2+0=1.

Passo 5

Resumo dos cálculos: obtivemos c_{23}=13 e d_{41}=1. Dica rápida para a prova: sempre verifique dimensões primeiro (número de colunas da primeira = número de linhas da segunda) e identifique claramente a linha e a coluna que vão ao produto escalar — aí é só multiplicar termo a termo e somar.

Resposta

c_{23}=13
d_{41}=1

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