Dadas as matrizes de ordem 2 x 2, tal que X=raiz2 A-tildeA X^-1, determine X, onde:
A=\left| cc-1 & raiz3 -raiz3 & 2\right|$

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz X de ordem 2 que satisfaz
X = raiz2,A ;-;widetildeA,X^-1,
onde A é dada por
A = -1 & raiz3 -raiz3 & 2
e widetildeA é a adjunta de A. Vamos usar álgebra de matrizes, a relação de Cayley–Hamilton para A e a ansatz de que X comute com A, de modo a escrever X como combinação linear de I e A.

Passo 2

Calculemos traço, determinante e adjunta de A. Temos
tr(A) = (-1)+2 = 1, det(A) = (-1)cdot2 - (raiz3)(-raiz3) = -2 + 3 = 1
Pela fórmula da adjunta em 2times2,
widetildeA = 2 & -raiz3 raiz3 & -1
Como det(A)=1, segue também A^-1 = widetildeA.

Passo 3

Multiplicando a equação original por X à direita, obtemos a equação quadrática em X:
X^2 ;-;raiz2,A,X ;+;widetildeA ;=;0
Além disso, pelo teorema de Cayley–Hamilton para A,
A^2 - (trA),A + (det A),I = 0 Longrightarrow A^2 = A - I,
e como A^-1=widetildeA e det(A)=1, temos
A^-1 = I - A

Passo 4

Para facilitar, supomos que X comuta com A e escrevemos
X = alpha,I + beta,A,
com alpha,betainR. Então
X^2 = (alpha I + beta A)^2 = (alpha^2-beta^2),I + (2alphabeta + beta^2),A,
e
raiz2,A,X = raiz2l(-beta,I + (alpha+beta),Ar),
além de widetildeA=A^-1=I-A. Substituindo em
X^2 - raiz2,A,X + widetildeA = 0
e coletando coeficientes de I e de A, obtemos o sistema em alpha,beta:
alpha^2-beta^2 + raiz2,beta +1 = 0, 2alphabeta + beta^2 - raiz2,alpha - raiz2,beta -1 = 0

Passo 5

Resolvendo esse sistema por substituição, chega-se a uma única relação para beta:
beta^4 - 2raiz2,beta^3 +2beta^2 -1 =0,
que fatora como
(beta^2 - raiz2,beta +1),(beta^2 - raiz2,beta -1)=0
As raízes reais vêm da segunda fatoração,
beta = raiz2pmraiz62,
e, ao calculá-las, encontra-se alpha=0 em ambos os casos.

Passo 6

Concluímos que as soluções invertíveis da equação original são
X = beta,A com beta = raiz2+raiz62 ou beta = raiz2-raiz62

Resposta

X = dfracraiz2+raiz62,A ou X = dfracraiz2-raiz62,A.

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