Dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem 3 :
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Calcule os seguintes determinantes:
4. \operatorname{det}\left(A^{T}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \det(A^{T}), em que
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 3 & 4\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é determinante de matriz e a propriedade da transposta.

Passo 2

Usamos a propriedade fundamental de determinantes:
\det(A^{T}) = \det(A).

Passo 3

Calculamos \det(A) por expansão da primeira linha:
\det(A) =2\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 4\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 3\\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
Agora os menores de ordem 2:
\det\begin{pmatrix}3 & 4\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =3\cdot1-4\cdot2=-5, \quad \det\begin{pmatrix}-1 & 4\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =(-1)\cdot1-4\cdot1=-5.
Portanto,
\det(A)=2\cdot(-5)-1\cdot(-5)=-10+5=-5.

Resposta

\det(A^{T})=-5

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