Dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem 3 :
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Calcule os seguintes determinantes:
6. \operatorname{det}\left(B^{-1}\right) (Caso B seja inversível)

Passo 1

O enunciado pede \det(B^{-1}) para a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 3 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
Primeiro vamos verificar se B é invertível calculando \det(B). Em seguida usamos a propriedade
\det(B^{-1}) = \frac{1}{\det(B)}.

Passo 2

Calculando o determinante de B:
\det(B) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 3 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot\bigl((-2)\cdot1 - 1\cdot1\bigr) - 0\cdot(\dots) + 2\cdot\bigl(3\cdot1 - (-2)\cdot0\bigr).
Portanto,
\det(B) = 1\cdot(-2 - 1) + 2\cdot(3 - 0) = -3 + 6 = 3,
que é diferente de zero, logo B é invertível.

Passo 3

Usando a propriedade da determinante de inversa, temos
\det(B^{-1}) = \frac{1}{\det(B)} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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