Dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem 3 :
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Calcule os seguintes determinantes:
5. \operatorname{det}(2 A)

Passo 1

O enunciado fornece duas matrizes quadradas de ordem 3, sendo que precisamos calcular \det(2A). O conteúdo principal aqui é determinante de matrizes e a propriedade de fatoração de escalar em determinante. Para resolver, vamos primeiro achar \det(A)$ e depois usar \(\det(\lambda A)=\lambda^n\det(A) com n=3.)

Passo 2

A propriedade de homogeneidade do determinante diz que, para qualquer escalar \lambda e matriz quadrada A de ordem n, vale
\det(\lambda A)=\lambda^n\,\det(A).
No nosso caso, \lambda=2 e n=3, logo
\det(2A)=2^3\,\det(A)=8\,\det(A).

Passo 3

Agora calculamos \det(A). A matriz A é
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 3 & 4\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão pela primeira linha,
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}3 & 4\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\dots).
Calculando os menores:
\det\begin{pmatrix}3 & 4\\\ 2 & 1\end{pmatrix} =3\cdot1-4\cdot2=3-8=-5,
\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\\ 1 & 1\end{pmatrix} =(-1)\cdot1-4\cdot1=-1-4=-5.
Portanto
\det(A)=2\cdot(-5)-1\cdot(-5)=-10+5=-5.

Passo 4

Substituindo em \det(2A)=8\,\det(A):
\det(2A)=8\cdot(-5)=-40.

Resposta

\det(2A) = -40

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