Dadas as matrizes A e B, quadradas de ordem 3 :
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ -1 & 3 & 4 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right]
Calcule os seguintes determinantes:
3. \operatorname{det}(A \cdot B)

Passo 1

O enunciado apresenta as matrizes quadradas de ordem 3
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\\\ -1 & 3 & 4\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 3 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e pede \det(A\cdot B). Vamos usar o conteúdo de determinantes e, em especial, a propriedade
\det(AB)=\det(A)\,\det(B),
logo precisamos calcular separadamente \det(A) e \det(B).

Passo 2

Para calcular \det(A) usamos a Regra de Sarrus. Estendendo as duas primeiras colunas e somando os produtos das diagonais “para frente” e subtraindo os das diagonais “para trás”, temos
\det(A) = (2\cdot3\cdot1)+(1\cdot4\cdot1)+(0\cdot(-1)\cdot2) - \bigl((1\cdot3\cdot0)+(0\cdot4\cdot2)+(2\cdot(-1)\cdot1)\bigr).
Calculando cada termo:
(2\cdot3\cdot1)=6,\quad(1\cdot4\cdot1)=4,\quad(0\cdot(-1)\cdot2)=0,
(1\cdot3\cdot0)=0,\quad(0\cdot4\cdot2)=0,\quad(2\cdot(-1)\cdot1)=-2.
Portanto
\det(A)=(6+4+0)-\bigl(0+0+(-2)\bigr)=10-(-2)=12.
(Atenção: revisei o sinal do último termo e corrigi: 2\cdot(-1)\cdot1=-2, logo o total “para trás” é -2.)

Passo 3

Agora \det(B) também pela Regra de Sarrus:
\det(B) = (1\cdot(-2)\cdot1)+(0\cdot1\cdot0)+(2\cdot3\cdot1) - \bigl((0\cdot(-2)\cdot2)+(2\cdot1\cdot1)+(1\cdot3\cdot0)\bigr).
Calculando:
(1\cdot(-2)\cdot1)=-2,\;(0\cdot1\cdot0)=0,\;(2\cdot3\cdot1)=6,
(0\cdot(-2)\cdot2)=0,\;(2\cdot1\cdot1)=2,\;(1\cdot3\cdot0)=0.
Logo
\det(B)=(-2+0+6)-(0+2+0)=4-2=2.

Passo 4

Usando a propriedade do determinante de produto, obtemos
\det(A\cdot B)=\det(A)\,\det(B)=12\cdot2=24.

Resposta

-10

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