O vetor \vec{v}, paralelo ao vetor \vec{u}=(2,-1,3), tal que \vec{u} \cdot \vec{v}=-42 é
\vec{v}=(-4,2,-6)
\vec{v}=(6,-3,9)
\vec{v}=(-6,3,-9)
\vec{v}=(3,-9,9)
\vec{v}=(4,-2,6)
Para que os vetores \vec{u}=(x, x, 4) e \vec{v}=(4, x, 1) sejam ortogonais, o valor de x deve ser
-2
1
4
-1
2

Passo 1

O enunciado traz dois problemas envolvendo produto escalar. No primeiro, queremos um vetor \vec{v} paralelo a \vec{u}=(2,-1,3) de modo que \vec{u}\cdot\vec{v}=-42. No segundo, buscamos o valor de x tal que \vec{u}=(x,x,4) e \vec{v}=(4,x,1) sejam ortogonais, ou seja, tenham produto escalar zero.

Passo 2

Para o vetor paralelo, usamos que todo \vec{v} paralelo a \vec{u} satisfaz \vec{v}=k\,\vec{u} para algum escalar k. Então
\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot(k\,\vec{u}) = k\,(\vec{u}\cdot\vec{u})
e sabemos que \vec{u}\cdot\vec{v}=-42. Calculando
\vec{u}\cdot\vec{u} = 2^2 + (-1)^2 + 3^2 = 14,
logo
k = \frac{-42}{14} = -3.
Portanto
\vec{v} = -3\,(2,-1,3) = (-6,\,3,\,-9),
que é exatamente uma das opções dadas.

Passo 3

Para que \vec{u}=(x,x,4) e \vec{v}=(4,x,1) sejam ortogonais, basta impor
\vec{u}\cdot\vec{v} = x\cdot 4 + x\cdot x + 4\cdot 1 = x^2 + 4x + 4 = 0.
Reconhecemos a trinomial completa:
x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 = 0
e daí x = -2, que também está entre as alternativas.

Resposta

(1) \vec{v}=(-6,\,3,\,-9)
(2) x=-2

Exercícios relacionados