Dadas as matrizes triangulares superiores (A e B) e inferiores (C e D):
A=[lll1 & 2 & 8 0 & 1 & 2 0 & 0 & 4], B=[rrr2 & -3 & 1 0 & 2 & -1 0 & 0 & 3], C=[rrr1 & 0 & 0 -1 & 3 & 0 -2 & -1 & 2] e
D=[rrr4 & 0 & 0 1 & -1 & 0 -1 & -3 & -2]
Calcular AB e classificar a matriz AB=E.

Passo 1

Temos duas matrizes triangulares superiores
A = 1 & 2 & 8 0 & 1 & 2 0 & 0 & 4 , B = 2 & -3 & 1 0 & 2 & -1 0 & 0 & 3
O produto E = AB é dado pela fórmula
(AB)ij = sumk=1^3 Aik,Bkj
Vamos calcular entrada a entrada.

Passo 2

Cálculo da primeira linha de E:
E11 = 1cdot2 + 2cdot0 + 8cdot0 = 2,
E12 = 1cdot(-3) + 2cdot2 + 8cdot0 = -3 + 4 = 1,
E13 = 1cdot1 + 2cdot(-1) + 8cdot3 = 1 - 2 + 24 = 23

Passo 3

Cálculo da segunda linha de E:
E21 = 0cdot2 + 1cdot0 + 2cdot0 = 0,
E22 = 0cdot(-3) + 1cdot2 + 2cdot0 = 2,
E23 = 0cdot1 + 1cdot(-1) + 2cdot3 = -1 + 6 = 5

Passo 4

Cálculo da terceira linha de E:
E31 = 0cdot2 + 0cdot0 + 4cdot0 = 0,
E32 = 0cdot(-3) + 0cdot2 + 4cdot0 = 0,
E33 = 0cdot1 + 0cdot(-1) + 4cdot3 = 12

Passo 5

Reunindo,
E = AB = 2 & 1 & 23 0 & 2 & 5 0 & 0 & 12
Observamos que E continua sendo triangular superior e que suas entradas diagonais são todas não nulas (2,2,12). Logo, det(E)=2cdot2cdot12=48neq0, ou seja, E é invertível.

Resposta

E = 2 & 1 & 23 0 & 2 & 5 0 & 0 & 12 ,
que é uma matriz triangular superior não singular (invertível).

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