Determine os valores de m para os quais A=(ccm & 0 0 & 2) satisfaz A^2-52 A+I=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = m & 0 0 & 2
e pede os valores de m tais que
A^2 - tfrac52A + I = 0
Aqui vamos usar que uma matriz diagonal satisfaz uma equação matricial exatamente quando cada entrada diagonal satisfaz a equação escalar correspondente.

Passo 2

Como A é diagonal, temos
A^2 = m^2 & 0 [4pt] 0 & 4, tfrac52A = tfrac52m & 0 [4pt] 0 & 5,
então
A^2 - tfrac52A + I = m^2 - tfrac52m + 1 & 0 [4pt] 0 & 4 - 5 + 1 ]

Passo 3

A equação matricial só vale se cada entrada diagonal for zero. Isso gera os dois sistemas escalares
m^2 - tfrac52m + 1 = 0, 4 - 5 + 1 = 0
Como a segunda já dá 0=0, basta resolver a primeira.

Passo 4

Resolvendo
m^2 - tfrac52m + 1 = 0
calculamos o discriminante
De<a = l(tfrac52r)^2 - 4cdot1cdot1 = tfrac254 - 4 = tfrac94,
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m = tfrac52 pm tfrac322 = 5 pm 34,
e assim
m = 2 ou m = tfrac12

Resposta

Os valores de m que satisfazem A^2 - tfrac52A + I = 0 são
m = 2 ou m = tfrac12

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