QUESTÃO 1 ( 3,0 pontos): A curva de desempenho de uma bomba pode ser escrita como: H(m)=55-1315,5\left[Q\left(m^{3} / s\right)\right]^{2}. A bomba deverá ser usada para mover água entre dois reservatórios abertos, através de 365 m de tubo de aço comercial com D=305 \mathrm{~mm}. contendo duas curvas de 90^{\circ} e uma válvula de gaveta aberta, com aumento de elevação de 15 m (considere f=0,0172 ). Determine:
a) (1,5) A vazão volumétrica de operação do sistema.
b) (1,5) Para um aumento de 50 \% na vazão volumétrica do sistema, seria mais viável a utilização de bombas em série ou paralelo? Quantas bombas seriam necessárias com base na resposta anterior? Justifique suas repostas com texto e cálculos.
Dados: \rho=1000 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}} ; \quad \mu=1 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s};
K_{\text {entrada }}=0,5 ; \quad K_{\text {cotovelo }}=0,3 ; \quad K_{\text {valvula }}=0,2 ; \quad K_{\text {salda }}=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar a vazão volumétrica de operação do sistema, sabendo que a curva da bomba é H(Q)=55-1315{,}5\left[Q\left(\mathrm{m^3/s}\right)\right]^2, e que o sistema (dois reservatórios abertos ligados por um tubo) tem perda por elevação e por atrito + locais ao longo do comprimento do tubo.
  2. (b) Se a vazão do sistema aumentar 50\%, decidir se é mais viável usar bombas em série ou em paralelo e informar quantas bombas seriam necessárias, justificando com cálculos.
Dados fornecidos (vou listar todos, sem resolver ainda):
\begin{aligned} &L=365\\ \mathrm{m},\qquad D=305\\ \mathrm{mm}=0{,}305\\ \mathrm{m},\\\ &\Delta z=15\\ \mathrm{m}\\ (\text{aumento de elevação}),\\\ &f=0{,}0172,\\\ &K_{\text{entrada}}=0{,}5,\quad K_{\text{cotovelo}}=0{,}3\\ (\text{existem 2 cotovelos}),\\\ &K_{\text{válvula}}=0{,}2,\quad K_{\text{salda}}=1,\\\ &\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3},\quad \mu=1\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\quad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. \end{aligned}çãá
Informações úteis que usarei: área interna do tubo, soma dos K locais, fórmula de Darcy–Weisbach para perda por atrito e expressão das perdas locais na forma h_K=K\,V^2/(2g). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal do tubo e a velocidade em função da vazão. Fórmula da área:
A=\frac{\pi D^2}{4}.
Calculando com D=0{,}305\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi (0{,}305)^2}{4}=0{,}073041\\ \mathrm{m^2}.
Explicação didática: a área é necessária porque velocidade média é V=Q/A. Sempre converta o diâmetro para metros antes de calcular. Aqui mostrei o valor arredondado de A com 6 dígitos úteis para cálculo manual na prova.

Passo 3

Determinar a soma das perdas locais K_{\text{tot}} e o termo de atrito fL/D.
Perdas locais somadas:
K_{\text{tot}}=K_{\text{entrada}} + 2\cdot K_{\text{cotovelo}} + K_{\text{válvula}} + K_{\text{salda}}.á
Substituindo:
K_{\text{tot}}=0{,}5 + 2\cdot 0{,}3 + 0{,}2 + 1 = 2{,}3.
Fator de atrito vezes razão de comprimento por diâmetro:
\frac{fL}{D}=0{,}0172\cdot\frac{365}{0{,}305}=0{,}0172\cdot 1196{,}7213\approx 20{,}584.
Explicação didática: Darcy–Weisbach dá a perda por atrito uniforme ao longo do comprimento como
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g},
e cada perda local é h_K = K\frac{V^2}{2g}. Portanto todas as perdas dependem de V^2, e como V=Q/A as perdas finais ficam proporcionais a Q^2.

Passo 4

Montar a expressão da curva do sistema (head exigido pelo sistema em função de Q).
Perda total (exceto elevação) tem fator multiplicador \left(\dfrac{fL}{D}+K_{\text{tot}}\right) multiplicando \dfrac{V^2}{2g}. Como V=Q/A, temos
H_{\text{sys}}(Q)=\Delta z + \left(\frac{fL}{D}+K_{\text{tot}}\right)\frac{(Q/A)^2}{2g}.
Definimos uma constante C tal que H_{\text{sys}}(Q)=\Delta z + C Q^2. Vamos calcular C passo a passo:
C=\left(\frac{fL}{D}+K_{\text{tot}}\right)\frac{1}{A^2}\cdot\frac{1}{2g}.
Já temos \dfrac{fL}{D}+K_{\text{tot}}=20{,}584 + 2{,}3 = 22{,}884 (valores aproximados mantidos com 4 dígitos).
Calcular A^2:
A^2=(0{,}073041)^2=0{,}0053349.
Então
\frac{1}{A^2} \approx 187{,}465.
E
2g=19{,}62.
Portanto
C=22{,}884\cdot\frac{187{,}465}{19{,}62}\approx 22{,}884\cdot 9{,}556 \approx 218{,}7\\ (\mathrm{m^{-5}}).
Observação didática: a unidade de C é tal que C Q^2 dá metros (m). Agora temos a expressão simplificada do sistema:
H_{\text{sys}}(Q)=15 + 218{,}7\;Q^2.

Passo 5

Determinar a vazão de operação impondo equilíbrio entre curva da bomba e curva do sistema. Igualamos:
H_{\text{bomba}}(Q)=H_{\text{sys}}(Q),
ou seja
55-1315{,}5\,Q^2 = 15 + 218{,}7\,Q^2.
Agrupando os termos em Q^2:
55-15 = (1315{,}5 + 218{,}7)Q^2.
Logo
40 = 1534{,}2\;Q^2.
Isolando Q:
Q=\sqrt{\frac{40}{1534{,}2}}=\sqrt{0{,}026077}\approx 0{,}1615\\ \mathrm{m^3/s}.
Explicação prática: esse é o ponto de operação onde a bomba entrega exatamente a cabeça que o sistema exige. Sempre reduza a equação para a forma a = b\,Q^2 quando as curvas são quadráticas como aqui.

Passo 6

Verificação do regime de escoamento (checar Re e validade de f dado).
Velocidade média correspondente:
V=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}1615}{0{,}073041}\approx 2{,}21\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{1000\cdot 2{,}21\cdot 0{,}305}{1\times 10^{-3}}\approx 6{,}75\times 10^{5}.
Explicação didática: \mathrm{Re}\gg 4000 indica escoamento totalmente turbulento; portanto usar um f constante dado (possivelmente obtido experimentalmente ou por Colebrook) é razoável. O valor de f=0{,}0172 é compatível com esse regime para tubo de aço comercial.

Passo 7

Parte (b): aumento de 50\% na vazão — análise de série vs paralelo e quantas bombas são necessárias.
Primeiro calcular a vazão alvo:
Q_{\text{alvo}}=1{,}5\cdot Q = 1{,}5\cdot 0{,}1615 = 0{,}24225\\ \mathrm{m^3/s}.
Calcular a cabeça exigida pelo sistema nessa vazão usando H_{\text{sys}}(Q)=15 + 218{,}7\,Q^2:
H_{\text{sys}}(Q_{\text{alvo}})=15 + 218{,}7\cdot(0{,}24225)^2 =15 + 218{,}7\cdot 0{,}058683 \approx 15 + 12{,}834 \approx 27{,}834\\ \mathrm{m}.
Calcular a cabeça que uma bomba entrega sozinha nessa vazão:
H_{\text{bomba}}(Q_{\text{alvo}})=55 -1315{,}5\cdot(0{,}24225)^2 =55 -1315{,}5\cdot 0{,}058683 \approx 55 -77{,}20 \approx -22{,}20\\ \mathrm{m}.
Interpretação didática: o valor negativo significa que, na curva da bomba única, naquele valor de vazão a bomba não é capaz de fornecer a cabeça positiva exigida — na prática significaria que a bomba sozinha não consegue impor essa vazão no sistema (a curva da bomba está muito baixa para esse Q).
Análise qualitativa (série vs paralelo):
  • Bombas em série somam alturas (heads) para a mesma vazão: H_{\text{total, série}}(Q)=n\cdot H_{\text{bomba}}(Q)é.
  • Bombas em paralelo somam vazões para a mesma altura: cada bomba opera no mesmo H; vazão total Q_{\text{tot}}=n\cdot q onde q é a vazão por bomba no ponto de operação comum.
Como o que se quer é aumentar a vazão, a configuração natural é paralelo (paralelo aumenta vazão); série aumenta head e pouca coisa muda na vazão. Além disso, visto que H_{\text{bomba}}(Q_{\text{alvo}}) é negativo, colocar bombas em série não resolve: multiplicando um número negativo por n permanece negativo, então não alcançamos a cabeça positiva necessária. Portanto série é inviável neste caso.
Cálculo quantitativo para paralelo (quantas bombas):
Para n bombas em paralelo, cada bomba fica com vazão q=Q_{\text{tot}}/n e deve satisfazer a curva da bomba:
H_{\text{bomba}}(q)=55 -1315{,}5\left(\frac{Q_{\text{tot}}}{n}\right)^2,
e essa cabeça deve igualar a cabeça do sistema H_{\text{sys}}(Q_{\text{tot}})=15 + 218{,}7\,Q_{\text{tot}}^2. Assim:
55 -1315{,}5\left(\frac{Q_{\text{tot}}}{n}\right)^2 = 15 + 218{,}7\,Q_{\text{tot}}^2.
Rearranjando para Q_{\text{tot}} (útil para calcular a vazão de operação com n bombas):
40 = \left(\frac{1315{,}5}{n^2} + 218{,}7\right)Q_{\text{tot}}^2 \quad\Rightarrow\quad Q_{\text{tot}}=\sqrt{\frac{40}{\dfrac{1315{,}5}{n^2}+218{,}7}}.
Queremos saber o menor n inteiro tal que Q_{\text{tot}}\ge Q_{\text{alvo}}=0{,}24225. Podemos testar n=1,2,\dots:
  • Para n=1 (uma bomba) já sabemos Q=0{,}1615 (insuficiente).
  • Para n=2:
Q_{\text{tot}}=\sqrt{\frac{40}{\dfrac{1315{,}5}{4}+218{,}7}} =\sqrt{\frac{40}{328{,}875 +218{,}7}} =\sqrt{\frac{40}{547{,}575}} \approx 0{,}2703\\ \mathrm{m^3/s}.
Esse valor é maior que Q_{\text{alvo}}=0{,}24225, ou seja, com duas bombas em paralelo o sistema opera numa vazão maior que a desejada (o que é aceitável: alcança e ultrapassa os +50\%). Portanto duas bombas em paralelo bastam.
Para contraste, calculei quantas bombas em série seriam necessárias para comparar (apenas para ilustrar que série é ruim): com n=2 em série a curva resultante é H=2(55-1315{,}5 Q^2)=110 -2631 Q^2. Igualando ao sistema 15+218{,}7 Q^2
110-2631 Q^2 = 15 +218{,}7 Q^2 \quad\Rightarrow\quad Q\approx 0{,}1826\\ \mathrm{m^3/s},
que é bem menor que 0{,}24225. Mesmo com 2 em série não se alcança a meta; precisariam de muitas bombas em série (e mesmo assim, como vimos, para a vazão alvo a bomba isolada entrega cabeça negativa — série não resolve). Por isso paralelo é a escolha correta e eficiente.

Passo 8

Resumo das conclusões e números finais (preparando a resposta final concisa):
  • Vazão de operação com uma bomba: Q\approx 0{,}1615\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Para aumentar a vazão em 50\% até Q_{\text{alvo}}=0{,}24225\\ \mathrm{m^3/s}, a solução viável é bombas em paralelo. O número mínimo inteiro de bombas em paralelo necessário é n=2 (duas bombas em paralelo fornecem Q\approx 0{,}2703\\ \mathrm{m^3/s}, que atende o aumento pedido).

Resposta

(a) \;Q\approx 0{,}1615\\ \mathrm{m^3/s}.
(b) Paralelo é mais viável; são necessárias 2 bombas em paralelo.

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