QUESTÃO 1 ( 3,0 pontos): A curva de desempenho de uma bomba pode ser escrita como: H(m)=55-1315,5\left[Q\left(m^{3} / s\right)\right]^{2}. A bomba deverá ser usada para mover água entre dois reservatórios abertos, através de 365 m de tubo de aço comercial com D=305 \mathrm{~mm}. contendo duas curvas de 90^{\circ} e uma válvula de gaveta aberta, com aumento de elevação de 15 m (considere f=0,0172 ). Determine:
a) (1,5) A vazão volumétrica de operação do sistema.
b) (1,5) Para um aumento de 50 \% na vazão volumétrica do sistema, seria mais viável a utilização de bombas em série ou paralelo? Quantas bombas seriam necessárias com base na resposta anterior? Justifique suas repostas com texto e cálculos.
(a) Determinar a vazão volumétrica de operação do sistema, sabendo que a curva da bomba é H(Q)=55-1315{,}5\left[Q\left(\mathrm{m^3/s}\right)\right]^2, e que o sistema (dois reservatórios abertos ligados por um tubo) tem perda por elevação e por atrito + locais ao longo do comprimento do tubo.
(b) Se a vazão do sistema aumentar 50\%, decidir se é mais viável usar bombas em série ou em paralelo e informar quantas bombas seriam necessárias, justificando com cálculos.
Dados fornecidos (vou listar todos, sem resolver ainda):
Informações úteis que usarei: área interna do tubo, soma dos K locais, fórmula de Darcy–Weisbach para perda por atrito e expressão das perdas locais na forma h_K=K\,V^2/(2g). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Calcular a área da seção transversal do tubo e a velocidade em função da vazão. Fórmula da área:
Explicação didática: a área é necessária porque velocidade média é V=Q/A. Sempre converta o diâmetro para metros antes de calcular. Aqui mostrei o valor arredondado de A com 6 dígitos úteis para cálculo manual na prova.
Passo 3
Determinar a soma das perdas locais K_{\text{tot}} e o termo de atrito fL/D.
Explicação prática: esse é o ponto de operação onde a bomba entrega exatamente a cabeça que o sistema exige. Sempre reduza a equação para a forma a = b\,Q^2 quando as curvas são quadráticas como aqui.
Passo 6
Verificação do regime de escoamento (checar Re e validade de f dado).
Velocidade média correspondente:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}=\frac{1000\cdot 2{,}21\cdot 0{,}305}{1\times 10^{-3}}\approx 6{,}75\times 10^{5}.
Explicação didática: \mathrm{Re}\gg 4000 indica escoamento totalmente turbulento; portanto usar um f constante dado (possivelmente obtido experimentalmente ou por Colebrook) é razoável. O valor de f=0{,}0172 é compatível com esse regime para tubo de aço comercial.
Passo 7
Parte (b): aumento de 50\% na vazão — análise de série vs paralelo e quantas bombas são necessárias.
Interpretação didática: o valor negativo significa que, na curva da bomba única, naquele valor de vazão a bomba não é capaz de fornecer a cabeça positiva exigida — na prática significaria que a bomba sozinha não consegue impor essa vazão no sistema (a curva da bomba está muito baixa para esse Q).
Análise qualitativa (série vs paralelo):
Bombas em série somam alturas (heads) para a mesma vazão: H_{\text{total, série}}(Q)=n\cdot H_{\text{bomba}}(Q).
Bombas em paralelo somam vazões para a mesma altura: cada bomba opera no mesmo H; vazão total Q_{\text{tot}}=n\cdot q onde q é a vazão por bomba no ponto de operação comum.
Como o que se quer é aumentar a vazão, a configuração natural é paralelo (paralelo aumenta vazão); série aumenta head e pouca coisa muda na vazão. Além disso, visto que H_{\text{bomba}}(Q_{\text{alvo}}) é negativo, colocar bombas em série não resolve: multiplicando um número negativo por n permanece negativo, então não alcançamos a cabeça positiva necessária. Portanto série é inviável neste caso.
Cálculo quantitativo para paralelo (quantas bombas):
Para n bombas em paralelo, cada bomba fica com vazão q=Q_{\text{tot}}/n e deve satisfazer a curva da bomba:
Esse valor é maior que Q_{\text{alvo}}=0{,}24225, ou seja, com duas bombas em paralelo o sistema opera numa vazão maior que a desejada (o que é aceitável: alcança e ultrapassa os +50\%). Portanto duas bombas em paralelo bastam.
Para contraste, calculei quantas bombas em série seriam necessárias para comparar (apenas para ilustrar que série é ruim): com n=2 em série a curva resultante é H=2(55-1315{,}5 Q^2)=110 -2631 Q^2. Igualando ao sistema 15+218{,}7 Q^2 dá
que é bem menor que 0{,}24225. Mesmo com 2 em série não se alcança a meta; precisariam de muitas bombas em série (e mesmo assim, como vimos, para a vazão alvo a bomba isolada entrega cabeça negativa — série não resolve). Por isso paralelo é a escolha correta e eficiente.
Passo 8
Resumo das conclusões e números finais (preparando a resposta final concisa):
Vazão de operação com uma bomba: Q\approx 0{,}1615\\ \mathrm{m^3/s}.
Para aumentar a vazão em 50\% até Q_{\text{alvo}}=0{,}24225\\ \mathrm{m^3/s}, a solução viável é bombas em paralelo. O número mínimo inteiro de bombas em paralelo necessário é n=2 (duas bombas em paralelo fornecem Q\approx 0{,}2703\\ \mathrm{m^3/s}, que atende o aumento pedido).
Resposta
(a) \;Q\approx 0{,}1615\\ \mathrm{m^3/s}.
(b) Paralelo é mais viável; são necessárias 2 bombas em paralelo.