Dadas as primitivas das curvas f(x, y, c)=0, determine a equação diferencial de primeira ordem para cada família de curvas integrais:
x+y=c e^x-y

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
x + y = c,e^,x - y
com parâmetro ,c. Queremos obter uma equação diferencial de primeira ordem que tenha essa família como solução geral, isto é, eliminar o parâmetro c.

Passo 2

Isolamos o parâmetro c em função de x e y:
c = (x + y),e^-,(x - y)

Passo 3

Diferenciamos implicitamente a relação original em relação a x. A derivada de x+y é 1 + y'. A derivada de c,e^,x - y (tratando c como constante) é
ddxl(c,e^,x - yr) = c,e^,x - y,l(1 - y'r)
Portanto obtemos
1 + y' = c,e^,x - y,(1 - y')

Passo 4

Substituímos c,e^,x - y = x + y na igualdade acima e resolvemos para y':
1 + y' = (x + y),(1 - y') Longrightarrow 1 + y' = x + y - (x + y),y'
Longrightarrow y',(1 + x + y) = x + y - 1 Longrightarrow y' = x + y - 1x + y + 1

Resposta

y' = x + y - 1x + y + 1

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