Dado os pontos de um paralelogramo , encontre o último ponto e calcule a área do paralelogramo.
Passo 1
O enunciado dá três vértices de um paralelogramo em : , e .
O objetivo é achar o quarto vértice e calcular a área do paralelogramo.
O conteúdo usado será geometria vetorial: vetores posição, soma de vetores e produto vetorial para área.
Passo 2
Num paralelogramo, os vetores que unem um vértice aos dois vértices adjacentes são vetores de lados.
Se escolhermos como vértice base, então e PR são dois lados adjacentes.
O quarto vértice S satisfaz
PS ;=;PQ + PR
que, em termos de posições, equivale a
OS ;=;OQ + OR - OP
onde O é a origem.
Passo 3
Calculando coordenada a coordenada:
S ;=;Q + R - P =;(2,3,2) + (1,0,1) - (1,2,4) =(2+1-1,;3+0-2,;2+1-4) =(2,;1,;-1)
Passo 4
Os vetores lados a partir de P são
PQ = Q-P = (2-1,;3-2,;2-4) = (1,1,-2),
PR = R-P = (1-1,;0-2,;1-4) = (0,-2,-3)
Passo 5
A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial PQtimesPR.
Calculando