Dado os pontos de um paralelogramo P(1,2,4), Q(2,3,2), R(1,0,1), encontre o último ponto e calcule a área do paralelogramo.

Passo 1

O enunciado dá três vértices de um paralelogramo em R^3:
P(1,2,4), Q(2,3,2) e R(1,0,1).
O objetivo é achar o quarto vértice S e calcular a área do paralelogramo.
O conteúdo usado será geometria vetorial: vetores posição, soma de vetores e produto vetorial para área.

Passo 2

Num paralelogramo, os vetores que unem um vértice aos dois vértices adjacentes são vetores de lados.
Se escolhermos P como vértice base, então PQ e PR são dois lados adjacentes.
O quarto vértice S satisfaz
PS ;=;PQ + PR
que, em termos de posições, equivale a
OS ;=;OQ + OR - OP
onde O é a origem.

Passo 3

Calculando coordenada a coordenada:
S ;=;Q + R - P =;(2,3,2) + (1,0,1) - (1,2,4) =(2+1-1,;3+0-2,;2+1-4) =(2,;1,;-1)

Passo 4

Os vetores lados a partir de P são
PQ = Q-P = (2-1,;3-2,;2-4) = (1,1,-2),
PR = R-P = (1-1,;0-2,;1-4) = (0,-2,-3)

Passo 5

A área do paralelogramo é o módulo do produto vetorial PQtimesPR.
Calculando
PQtimesPR =det i&j&k[6pt] 1&1&-2[3pt] 0&-2&-3 =l(-7,;3,;-2r)
Então o módulo é
l|PQtimesPRr| =raiz(-7)^2 + 3^2 + (-2)^2 =raiz49 + 9 + 4 =raiz62 ]

Resposta

O quarto vértice é S(2,1,-1) e a área do paralelogramo é raiz62.

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