Dado o triângulo ABC, A(3,-3,3) ; B(2,-1,2) e C(1,0,1). Calcule os ângulos internos, a área, o perimetro e a altura referente a base AC.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo em R^3:
A(3,-3,3), B(2,-1,2), C(1,0,1),
e pede os ângulos internos, a área, o perímetro e a altura relativa à base AC.
Para isso vamos usar:
– Distância entre dois pontos para obter os comprimentos dos lados.
– Lei dos cossenos para os ângulos internos.
– Produto vetorial para a área.
– Relação entre área e altura para obter a altura referente a AC.

Passo 2

Calcular os vetores das arestas e seus comprimentos:
AB=B-A=(2-3,,-1+3,,2-3)=(-1,2,-1),
BC=C-B=(1-2,,0+1,,1-2)=(-1,1,-1),
AC=C-A=(1-3,,0+3,,1-3)=(-2,3,-2)
Seus comprimentos são
AB=|AB|=raiz(-1)^2+2^2+(-1)^2=raiz6,
BC=|BC|=raiz(-1)^2+1^2+(-1)^2=raiz3,
AC=|AC|=raiz(-2)^2+3^2+(-2)^2=raiz17

Passo 3

Usar a lei dos cossenos para cada ângulo. Seja ang<= A o ângulo em A, etc.
Para ang<= A:
cos A=AB^2+AC^2-BC^22cdot ABcdot AC =6+17-32raiz6,raiz17 =202raiz102 =10raiz102,
A=arccosl(tfrac10raiz102r)approx7,99^circ
Para ang<= B:
cos B=AB^2+BC^2-AC^22cdot ABcdot BC =6+3-172raiz6,raiz3 =-82raiz18 =-86raiz2,
B=arccosl(-tfrac86raiz2r)approx160,52^circ
E ang<= C=180^circ - A - Bapprox11,49^circ.

Passo 4

Calcular a área pelo módulo do produto vetorial ABtimesAC:
ABtimesAC =(-1,2,-1)times(-2,3,-2) =(-1,0,1),
|ABtimesAC| =raiz(-1)^2+0^2+1^2=raiz2,
área=tfrac12,|ABtimesAC| =tfrac12,raiz2=raiz22approx0,7071 á

Passo 5

O perímetro é a soma dos três lados:
P=AB+BC+AC=raiz6+raiz3+raiz17approx8,304

Passo 6

A altura relativa à base AC satisfaz
área=tfrac12cdot ACcdot h Longrightarrow h=2cdotraiz22raiz17 =raiz2raiz17 =raiztfrac217approx0,343 á

Resposta

ang<= Aapprox7,99^circ
ang<= Bapprox160,52^circ
ang<= Capprox11,49^circ
área=tfracraiz22approx0,7071á
perímetro= raiz6+raiz3+raiz17approx8,304í
a<ura em AC=raiztfrac217approx0,343

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