Dadas f(x)=raizx e g(x)=x^2-1, estude f circ f, g circ g, f circ g e g circ f.
Resp.:
  • Df circ f=[0, infty) e (f circ f)(x)=raizraizx;
  • Dg circ g=R e (g circ g)(x)=(x^2-1)^2-1;
  • A função f circ g não está definida;
Podemos restringir o domínio de g de modo que a condição Im(g|A) subset Df fique satisfeita. Uma solução possível é:
  • Df circ g|A=A=[1, infty) e (f circ g|A)(x)=raizx^2-1;
Outra solução, a qual considera a “maior” restrição possível do domínio de g, é:
  • Df circ g|B=B=(-infty,-1] cup[1, infty) e (f circ g|B)(x)=raizx^2-1;

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=raizx com Df=[0,infty)
e
g(x)=x^2-1 com Dg=R,
e pede domínio e fórmula de
fcirc f, gcirc g, fcirc g e gcirc f.

Passo 2

Para fcirc f temos
Dfcirc f=,xin Dfmid f(x)in Df,
Como Df=[0,infty) e para todo x>=0 vale raizx>=0, segue
Dfcirc f=[0,infty) e (fcirc f)(x)=fl(f(x)r) =raizraizx

Passo 3

Para gcirc g temos
Dgcirc g=,xin Dgmid g(x)in Dg
e como Dg=R e g(x)=x^2-1inR para todo x, resulta
Dgcirc g=R e (gcirc g)(x)=gl(g(x)r) =(x^2-1)^2-1

Passo 4

Para fcirc g a composição só faz sentido se g(x)in Df=[0,infty), ou seja
x^2-1>=0;Longrightarrow;xin(-infty,-1]cup[1,infty)
Logo, não existe fcirc g em todo R, mas podemos restringir o domínio de g.
Uma solução parcial é
A=[1,infty), l(fcirc gr)l|A(x)=raizx^2-1
A “maior” restrição possível é
B=(-infty,-1]cup[1,infty), l(fcirc gr)l|B(x)=raizx^2-1

Passo 5

Para gcirc f temos
Dgcirc f=,xin Dfmid f(x)in Dg
Como Df=[0,infty) e f(x)=raizxinR sempre, segue
Dgcirc f=[0,infty) e (gcirc f)(x)=gl(raizxr) =(raizx)^2-1 =x-1

Resposta

Dfcirc f = [0, infty), (fcirc f)(x) = raizraizx
Dgcirc g = R, (gcirc g)(x) = (x^2 - 1)^2 - 1
O domínio D_{f\circ g} não está definido em \mathbb{R}; restrições possíveis:
A = [1, infty), (fcirc g)|A(x) = raizx^2 - 1
B = (-infty, -1] cup [1, infty), (fcirc g)|B(x) = raizx^2 - 1
Dgcirc f = [0, infty), (gcirc f)(x) = x - 1

Exercícios relacionados