Encontre o limite.
lim theta 0 sen xtg 7 theta

Passo 1

O enunciado pede o limite
limthetato 0 sen thetatg 7theta
Estamos em um tópico de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar o limite fundamental
limxto 0sen xx=1
e a definição de tangente tg x = sen xcos x.

Passo 2

Reescrevemos a tangente no denominador:
tg 7theta = sen 7thetacos 7theta
Então a expressão original fica
sen thetatg 7theta = sen thetadfracsen 7thetacos 7theta = cos 7theta ,sen thetasen 7theta

Passo 3

Agora temos
sen thetatg 7theta = cos 7theta ,sen thetasen 7theta
Quando thetato 0, cos 7theta to cos 0 = 1. Resta analisar o quociente sen thetasen 7theta.

Passo 4

Para esse quociente, fazemos a mudança u = 7theta. Note que quando thetato 0, uto 0. Escrevemos
sen thetasen 7theta = sen thetatheta ,theta7theta ,7thetasen 7theta = sen thetathetacdot17cdot7thetasen 7theta

Passo 5

Aplicando o limite fundamental em cada fração:
limthetato 0sen thetatheta = 1, limthetato 07thetasen 7theta = 1
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limthetato 0sen thetasen 7theta = 1cdot17cdot1 = 17
E mantendo o fator cos 7thetato1, concluímos o limite.

Resposta

limthetato 0 sen thetatg 7theta = 17

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