Questão 3. Calcule as seguintes integrais.
integral 3 x^2-2x^2-2 x-8 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3x^2-2x^2-2x-8,dx
Trata-se de uma função racional em que o grau do numerador é igual ao do denominador, então o primeiro passo é fazer divisão de polinômios para separar em parte inteira (polinomial) e parte própria (grau do numerador menor que o do denominador).

Passo 2

Fazendo a divisão de 3x^2-2 por x^2-2x-8, escrevemos
3x^2-2 = 3,(x^2-2x-8) + (6x+22)
Logo
3x^2-2x^2-2x-8 = 3 + 6x+22x^2-2x-8

Passo 3

No termo próprio 6x+22x^2-2x-8, reconhecemos que ddx(x^2-2x-8)=2x-2. Escrevemos
6x+22 = 3,(2x-2) + 28,
de modo que
6x+22x^2-2x-8 = 3;2x-2x^2-2x-8 + 28;1x^2-2x-8
Assim
3x^2-2x^2-2x-8 = 3 + 3,2x-2x^2-2x-8 + 28,1x^2-2x-8

Passo 4

Integramos termo a termo:
  1. integral 3,dx = 3x
  2. Para 3integral2x-2x^2-2x-8,dx, fazemos u = x^2-2x-8, logo du = (2x-2),dx, obtendo
3integral2x-2x^2-2x-8,dx = 3integralduu = 3lnl|x^2-2x-8r|

Passo 5

Falta calcular
28integral 1x^2-2x-8,dx
Observando que
x^2-2x-8 = (x-1)^2-9,
usamos a fórmula
integralduu^2-a^2 =12alnl|u-au+ar|
Aqui u=x-1 e a=3, então
integraldxx^2-2x-8 =16lnl|x-1-3x-1+3r| =16lnl|x-4x+2r|
Multiplicando por 28 dá
28integraldxx^2-2x-8 =286lnl|x-4x+2r| =143lnl|x-4x+2r|

Passo 6

Juntando todos os resultados, a antiderivada é
3x +3lnl|x^2-2x-8r| +143lnl|x-4x+2r| + C

Resposta

boxed integral 3x^2-2x^2-2x-8,dx = 3x +3lnl|x^2-2x-8r| +143lnl|x-4x+2r| + C

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