Questão 3. Calcule as seguintes integrais. integral 3 x^2-2x^2-2 x-8 d x Passo 1O enunciado pede para calcular a integral integral 3x^2-2x^2-2x-8,dx Trata-se de uma função racional em que o grau do numerador é igual ao do denominador, então o primeiro passo é fazer divisão de polinômios para separar em parte inteira (polinomial) e parte própria (grau do numerador menor que o do denominador). Passo 2Fazendo a divisão de 3x^2-2 por x^2-2x-8, escrevemos 3x^2-2 = 3,(x^2-2x-8) + (6x+22) Logo 3x^2-2x^2-2x-8 = 3 + 6x+22x^2-2x-8 Passo 3No termo próprio 6x+22x^2-2x-8, reconhecemos que ddx(x^2-2x-8)=2x-2. Escrevemos 6x+22 = 3,(2x-2) + 28, de modo que 6x+22x^2-2x-8 = 3;2x-2x^2-2x-8 + 28;1x^2-2x-8 Assim 3x^2-2x^2-2x-8 = 3 + 3,2x-2x^2-2x-8 + 28,1x^2-2x-8 Passo 4Integramos termo a termo: integral 3,dx = 3x Para 3integral2x-2x^2-2x-8,dx, fazemos u = x^2-2x-8, logo du = (2x-2),dx, obtendo 3integral2x-2x^2-2x-8,dx = 3integralduu = 3lnl|x^2-2x-8r| Passo 5Falta calcular 28integral 1x^2-2x-8,dx Observando que x^2-2x-8 = (x-1)^2-9, usamos a fórmula integralduu^2-a^2 =12alnl|u-au+ar| Aqui u=x-1 e a=3, então integraldxx^2-2x-8 =16lnl|x-1-3x-1+3r| =16lnl|x-4x+2r| Multiplicando por 28 dá 28integraldxx^2-2x-8 =286lnl|x-4x+2r| =143lnl|x-4x+2r| Passo 6Juntando todos os resultados, a antiderivada é 3x +3lnl|x^2-2x-8r| +143lnl|x-4x+2r| + C Resposta boxed integral 3x^2-2x^2-2x-8,dx = 3x +3lnl|x^2-2x-8r| +143lnl|x-4x+2r| + C MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDadas f(x)=raizx e g(x)=x^2-1, estude f circ f, g circ g, f circ g e g circ f. Resp.: Df circ f=[0, infty) e (f circ f)(x)=raizraizx; Dg circ g=R e (g circ g)(x)=(x^2-1)^2-1; A função f circ g não está definida; Podemos restringir o domínio de g de modo que a condição Im(g|A) subset Df fique satisfeita. Uma solução possível é: Df circ g|A=A=[1, infty) e (f circ g|A)(x)=raizx^2-1; Outra solução, a qual considera a “maior” restrição possível do domínio de g, é: Df circ g|B=B=(-infty,-1] cup[1, infty) e (f circ g|B)(x)=raizx^2-1; Questão 3. Calcule as seguintes integrais. integral 3 x-1x+2 d x Questão 3. Calcule as seguintes integrais. integral xx^4-16 d x