Dadas a reta e a circunferência , pede-se a posição relativa de e e . Resp: e se intersectam em dois pontos (pois a distância do centro de a é menor que o raio de ).
Passo 1
O enunciado dá a reta
e a circunferência
Queremos (i) a posição relativa entre e e (ii) os pontos de interseção . Vamos precisar pôr na forma canônica, achar seu centro e raio, calcular a distância do centro à reta e, por fim, resolver o sistema para obter os pontos.
Passo 2
Colocamos em forma canônica completando quadrados:
Passo 3
Da forma canônica, extraímos
A distância do centro à reta é
Como d=0< R, concluímos que r é secante a lambda (duas interseções).
Passo 4
Para achar os pontos, isolamos y em r:
2y=-3x-17 ;Longrightarrow; y=-3x+172,
e substituímos na equação de lambda:
x^2+l(-tfrac3x+172r)^2+6x+8l(-tfrac3x+172r)+12=0
Passo 5
Multiplicando por 4 e simplificando, obtemos a quadrática
13x^2+78x+65=0
O discriminante é
De<a=78^2-4cdot13cdot65=2704=52^2,
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x=-78pm5226 ;Longrightarrow; x1=-1, x2=-5
Passo 6
Calculamos y em cada caso:
Se x=-1,
y=-3(-1)+172=--3+172=-7
Se x=-5,
y=-3(-5)+172=--15+172=-1
Portanto os pontos de interseção são (-1,-7) e (-5,-1).