1. Dadas a reta r: 3 x+2 y+17=0 e a circunferência lambda: x^2+y^2+6 x+8 y+12=0, pede-se a posição relativa de r e lambda e r cap lambda. Resp: r e lambda se intersectam em dois pontos (pois a distância do centro de lambda a r é menor que o raio de lambda ).

Passo 1

O enunciado dá a reta
r:3x+2y+17=0
e a circunferência
lambda:x^2+y^2+6x+8y+12=0
Queremos (i) a posição relativa entre r e lambda e (ii) os pontos de interseção rcaplambda. Vamos precisar pôr lambda na forma canônica, achar seu centro e raio, calcular a distância do centro à reta e, por fim, resolver o sistema para obter os pontos.

Passo 2

Colocamos lambda em forma canônica completando quadrados:
x^2+6x+y^2+8y+12=0 ;Longrightarrow; (x+3)^2-9+(y+4)^2-16+12=0 ;Longrightarrow; (x+3)^2+(y+4)^2=13

Passo 3

Da forma canônica, extraímos
centro C=(-3,-4),raio R=raiz13
A distância do centro C à reta r é
d=l|3(-3)+2(-4)+17r|raiz3^2+2^2 =|-9-8+17|raiz13=0raiz13=0
Como d=0< R, concluímos que r é secante a lambda (duas interseções).

Passo 4

Para achar os pontos, isolamos y em r:
2y=-3x-17 ;Longrightarrow; y=-3x+172,
e substituímos na equação de lambda:
x^2+l(-tfrac3x+172r)^2+6x+8l(-tfrac3x+172r)+12=0

Passo 5

Multiplicando por 4 e simplificando, obtemos a quadrática
13x^2+78x+65=0
O discriminante é
De<a=78^2-4cdot13cdot65=2704=52^2,
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x=-78pm5226 ;Longrightarrow; x1=-1, x2=-5

Passo 6

Calculamos y em cada caso:
Se x=-1,
y=-3(-1)+172=--3+172=-7
Se x=-5,
y=-3(-5)+172=--15+172=-1
Portanto os pontos de interseção são (-1,-7) e (-5,-1).

Resposta

A reta r é secante à circunferência lambda, e
rcaplambda=(-1,-7),;(-5,-1)

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