Obtenha, usando as operações matriciais, o vetor com as médias de cada produto e uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são as variâncias de cada produto.
Cliente Produto Valor
1 A 1.5
2 A 2.5
3 A 1.0
4 A 3.0
5 B 2.5
6 B 3.5
7 B 4.5
8 B 1.5
9 C 5.5
10 C 6.5
11 C 7.5
12 C 4.5

Passo 1

O enunciado pede, para cada produto A,B,C, (i) o valor médio dos quatro clientes que o compraram e (ii) a variância desses quatro valores, tudo via operações matriciais. Vamos usar:
– o vetor de observações yinR^12 com os valores na ordem dada;
– a matriz de indicadores XinR^12times3 em que cada coluna corresponde a um produto e tem entradas 0 ou 1 indicando a que grupo cada observação pertence.

Passo 2

Definimos
y = 1.52.51.03.02.53.54.51.55.56.57.54.5 , X = 1&0&01&0&01&0&01&0&00&1&00&1&00&1&00&1&00&0&10&0&10&0&10&0&1
Então X^TX=diag(4,4,4) e
X^Ty = 1.5+2.5+1.0+3.0[4pt] 2.5+3.5+4.5+1.5[4pt] 5.5+6.5+7.5+4.5 = 8.012.024.0 ]

Passo 3

As médias de cada produto vêm da fórmula dos mínimos-quadrados por grupo,
m = (X^TX)^-1,X^Ty
Como (X^TX)^-1=diag(tfrac14,tfrac14,tfrac14), temos
m = diagl(tfrac14,tfrac14,tfrac14r) 8.012.024.0 = 2.03.06.0

Passo 4

Calculamos o vetor de resíduos e=y-Xm e a componente ao quadrado e^(2) termo a termo. Então a soma dos quadrados em cada grupo é X^Te^(2).
Nos produtos A,B,C obtém-se, respectivamente,
X^Te^(2) = 2,55,05,0
Para a variância populacional em cada grupo dividimos por 4, o número de observações de cada produto, de modo que o vetor das variâncias é
s^2 = 14X^Te^(2) = 0,6251,2501,250

Passo 5

A matriz diagonal das variâncias é simplesmente
D = diagl(0,625,;1,250,;1,250r)

Resposta

Vetor das médias por produto:
m = 2,03,06,0
Matriz diagonal das variâncias por produto:
D = 0,625 & 0 & 0 0 & 1,250 & 0 0 & 0 & 1,250

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