Suponha que
sejam duas normas definidas em um espaço vetorial
com as quais
e
sejam espaços de Banach. Mostre que se existe
tal que
, para todo
, então as normas não equivalentes.
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
munido de duas normas
e
tais que
e
são Banach. Além disso, sabemos que existe uma constante
tal que
Queremos provar que, sob essas hipóteses, existem constantes
tais que
isto é, as normas são equivalentes.
Passo 2
Considere o operador identidade
Esse operador é linear por definição. Além disso, usando a desigualdade do enunciado, vemos que para todo
logo
é limitado (isto é, contínuo) com constante de norma
.
Passo 3
O operador
é claramente bijetivo (é a identidade sobre o mesmo conjunto
). Como domínio e contradomínio de
são Banach e
é um isomorfismo linear contínuo, podemos aplicar o Teorema do Inverso Limitado (ou Teorema de Banach–Schauder), que afirma que a inversa
também é contínua.
Passo 4
Da continuidade de
segue que existe uma constante
tal que para todo
Mas
, então
Passo 5
Reunindo as duas desigualdades achadas:
vemos que com
e
temos
ou seja, as normas
e
são equivalentes.
Resposta
As normas são equivalentes, pois a identidade entre
e
é um isomorfismo contínuo entre Banach e seu inverso é também contínuo.