Suponha que |cdot| e|cdot|0 sejam duas normas definidas em um espaço vetorial X com as quais (X,|cdot|) e (X,|cdot|0) sejam espaços de Banach. Mostre que se existe M>0 tal que |x|0 <= M|x|, para todo x in X, então as normas não equivalentes.

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial X munido de duas normas |cdot| e |cdot|0 tais que l(X,|cdot|r) e l(X,|cdot|0r) são Banach. Além disso, sabemos que existe uma constante M>0 tal que
|x|0<= M|x| para todo xin X
Queremos provar que, sob essas hipóteses, existem constantes m,M'>0 tais que
m,|x|;<=;|x|0;<=;M',|x|,
isto é, as normas são equivalentes.

Passo 2

Considere o operador identidade
Tcolonl(X,|cdot|r);longrightarrow;l(X,|cdot|0r), T(x)=x
Esse operador é linear por definição. Além disso, usando a desigualdade do enunciado, vemos que para todo xin X
|T(x)|0=|x|0<= M,|x|=M,|x|,
logo T é limitado (isto é, contínuo) com constante de norma |T|<= M.

Passo 3

O operador T é claramente bijetivo (é a identidade sobre o mesmo conjunto X). Como domínio e contradomínio de T são Banach e T é um isomorfismo linear contínuo, podemos aplicar o Teorema do Inverso Limitado (ou Teorema de Banach–Schauder), que afirma que a inversa T^-1 também é contínua.

Passo 4

Da continuidade de T^-1:(X,|cdot|0)to(X,|cdot|) segue que existe uma constante C>0 tal que para todo yin X
|T^-1(y)|;<=;C,|y|0
Mas T^-1(y)=y, então
|y|<= C,|y|0 para todo yin X

Passo 5

Reunindo as duas desigualdades achadas:
|y|<= C,|y|0 e |y|0<= M,|y|,
vemos que com m=1/C e M'=M temos
m,|y|;<=;|y|0;<=;M',|y| forall,yin X,
ou seja, as normas |cdot| e |cdot|0 são equivalentes.

Resposta

As normas são equivalentes, pois a identidade entre l(X,|cdot|r) e l(X,|cdot|0r) é um isomorfismo contínuo entre Banach e seu inverso é também contínuo.

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