Seja Pn o espaço dos polinómios reais de variável real de grau menor ou igual a n, munido com um produto interno arbitrário.
(a) Prove que existe uma base B=p0, p1, cdots, pn ortonormada em relação ao produto interno dado e que verifica grau(pk)=k, k=0, cdots, n.
(b) Mostre que se B^prime=q0, q1, cdots, qn também é uma base ortonormada em relação ao produto interno dado e satisfazendo grau(qk)=k, k=0, cdots, n, então qk= pm pk, k=0, cdots, n.
(c) Dada uma base qualquer de Pn, mostre que é sempre possível definir um produto interno neste espaço em relação ao qual esta base seja ortonormada.
(d) O produto interno da alínea anterior fica definido univocamente? Justifique.

Passo 1

O enunciado fala do espaço Pn dos polinómios reais de grau <= n munido de um produto interno arbitrário lang<=cdot,cdotrang<=.
(a) Queremos construir uma base ortonormada p0,p1,dots,pn com deg pk=k.
(b) Depois, provamos que essa base é única até sinais, isto é, se q0,dots,qn satisfaz o mesmo então qk=pm pk.
(c) Dada qualquer base, mostramos como definir um produto interno que a torne ortonormada.
(d) Por fim, discutimos se esse produto interno é único.

Passo 2

Construção da base ortonormada.
1. Começamos pela base natural 1,x,x^2,dots,x^n.
2. Aplicamos o processo de Gram–Schmidt: definimos recursivamente para k=0,dots,n
uk = x^k - sumj=0^k-1 lang<= x^k,pjrang<=lang<= pj,pjrang<=,pj,
de modo que uk é ortogonal a todos p0,dots,pk-1.
3. Como subtrai-se apenas componentes de deg < k, fica deg uk=k.
4. Normalizamos então
pk = uk|uk|, |uk|=raizlang<= uk,ukrang<=,
obtendo lang<= pi,pjrang<==de<aij e deg pk=k.

Passo 3

Unicidade até sinais.
1. Para k=0, o subespaço dos polinómios de grau 0 é de dimensão 1. Qualquer vetor unitário nele é pm p0, logo q0=pm p0.
2. Suponha que para j<k já temos qj=pm pj. Então spanq0,dots,qk-1=spanp0,dots,pk-1.
3. O polinómio qk é unitário, ortogonal a esse subespaço e tem deg qk=k. Mas, no processo de Gram–Schmidt, o subespaço ortogonal a p0,dots,pk-1 dentro dos polinómios de grau <= k é unidimensional, gerado por pk.
4. Logo qk=pm pk. Fazendo indução, isso vale para todo k.

Passo 4

Definir um produto interno que torne uma base b0,dots,bn ortonormada.
1. Basta exigir
lang<= bi,bjrang<= = de<aij
para todos i,j.
2. Como bi é base, qualquer v,winPn escreve–se unicamente como v=sum vi bi, w=sum wj bj.
3. Definimos então
lang<= v,wrang<= = sumi,j vi,wj,lang<= bi,bjrang<= = sumi vi,wi
Isto é um produto interno (bilinear, simétrico e definido-positivo) e faz bi ortonormal.

Passo 5

Unicidade do produto interno.
Se um produto interno lang<=cdot,cdotrang<=' torna bi ortonormal, então obrigatoriamente lang<= bi,bjrang<='=de<aij.
Mas isso determina lang<= v,wrang<=' para quaisquer v,w pelas expansões em bi, exatamente como fizemos acima.
Portanto não há outra escolha: o produto interno que faz bi ortonormal é único.

Resposta

(a) Existe: aplicar Gram–Schmidt a 1,x,dots,x^n produz pk ortonormal com deg pk=k.
(b) Se qk também satisfaz, então por unidimensionalidade do complemento ortogonal tem qk=pm pk.
(c) Dada qualquer base bi, definir lang<= bi,bjrang<==de<aij e estender bilinearmente.
(d) Sim: a condição lang<= bi,bjrang<==de<aij fixa o produto interno de forma única.

Exercícios relacionados