Seja
o espaço dos polinómios reais de variável real de grau menor ou igual a
, munido com um produto interno arbitrário.
(a) Prove que existe uma base
ortonormada em relação ao produto interno dado e que verifica
.
(b) Mostre que se
também é uma base ortonormada em relação ao produto interno dado e satisfazendo
, então
.
(c) Dada uma base qualquer de
, mostre que é sempre possível definir um produto interno neste espaço em relação ao qual esta base seja ortonormada.
(d) O produto interno da alínea anterior fica definido univocamente? Justifique.
(a) Prove que existe uma base
(b) Mostre que se
(c) Dada uma base qualquer de
(d) O produto interno da alínea anterior fica definido univocamente? Justifique.
Passo 1
O enunciado fala do espaço
dos polinómios reais de grau
munido de um produto interno arbitrário
.
(a) Queremos construir uma base ortonormada com
.
(b) Depois, provamos que essa base é única até sinais, isto é, se satisfaz o mesmo então
.
(c) Dada qualquer base, mostramos como definir um produto interno que a torne ortonormada.
(d) Por fim, discutimos se esse produto interno é único.
(a) Queremos construir uma base ortonormada
(b) Depois, provamos que essa base é única até sinais, isto é, se
(c) Dada qualquer base, mostramos como definir um produto interno que a torne ortonormada.
(d) Por fim, discutimos se esse produto interno é único.
Passo 2
Construção da base ortonormada.
. Começamos pela base natural
.
. Aplicamos o processo de Gram–Schmidt: definimos recursivamente para
de modo que
é ortogonal a todos
.
. Como subtrai-se apenas componentes de deg
, fica
.
. Normalizamos então
obtendo
e
.
Passo 3
Unicidade até sinais.
. Para
, o subespaço dos polinómios de grau
é de dimensão
. Qualquer vetor unitário nele é
, logo
.
. Suponha que para
já temos
. Então
.
. O polinómio
é unitário, ortogonal a esse subespaço e tem
. Mas, no processo de Gram–Schmidt, o subespaço ortogonal a
dentro dos polinómios de grau
é unidimensional, gerado por
.
. Logo
. Fazendo indução, isso vale para todo
.
Passo 4
Definir um produto interno que torne uma base
ortonormada.
. Basta exigir
para todos
.
. Como
é base, qualquer
escreve–se unicamente como
,
.
. Definimos então
Isto é um produto interno (bilinear, simétrico e definido-positivo) e faz
ortonormal.
Passo 5
Unicidade do produto interno.
Se um produto interno torna
ortonormal, então obrigatoriamente
.
Mas isso determina para quaisquer
pelas expansões em
, exatamente como fizemos acima.
Portanto não há outra escolha: o produto interno que faz ortonormal é único.
Se um produto interno
Mas isso determina
Portanto não há outra escolha: o produto interno que faz
Resposta
(a) Existe: aplicar Gram–Schmidt a
produz
ortonormal com
.
(b) Se também satisfaz, então por unidimensionalidade do complemento ortogonal tem
.
(c) Dada qualquer base , definir
e estender bilinearmente.
(d) Sim: a condição fixa o produto interno de forma única.
(b) Se
(c) Dada qualquer base
(d) Sim: a condição