Calcular o ponto de interseção das retas
r:
e
s:
r:
e
Passo 1
O que o problema pede: calcular o ponto de interseção entre as retas [r) e
.
Informações dadas:
Observação importante: ambas as retas têm a coordenada
, e as outras coordenadas estão dadas por relações entre
e
.]
Passo 2
Transformar a reta
em forma paramétrica, porque é mais fácil comparar pontos em duas retas quando ambas estão em forma paramétrica.
Como em
só há duas equações e três incógnitas, escolhemos um parâmetro livre. Seja
o parâmetro e tomemos
Então, usando as equações de
:
Portanto a forma paramétrica de
é
Explicação didática curta: escolher um parâmetro significa dizer “vamos percorrer a reta variando
— cada
dá um ponto
na reta”. Aqui
é o parâmetro porque
é dado em função de
.
Passo 3
Transformar a reta
em forma paramétrica a partir da forma simétrica dada.
Na igualdade
introduzimos um parâmetro
igual a essa razão:
Daí obtemos
e
em função de
:
Além disso
é fixo. Então a forma paramétrica de
é
Explicação didática curta: na forma simétrica cada fração é igual a um mesmo parâmetro; isolando você obtém as coordenadas em função desse parâmetro.
Passo 4
Para que haja interseção, deve existir
e
tais que as coordenadas das duas parametrizações coincidam. Igualamos componente a componente:
Como
em ambas é
, essa componente já coincide. Igualamos
e
:
Substituímos
da primeira equação na segunda. Primeiro escrevemos
da primeira:
Agora substituímos em
:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Somando termos semelhantes no lado esquerdo:
Passamos os termos com
para um lado:
Isso dá
Logo
Passo 5
Encontrar
a partir de
usando
:
Agora obtemos as coordenadas do ponto, usando a parametrização (pode usar qualquer uma das retas; ambas devem dar o mesmo ponto).
Usando
com
:
Fazemos uma checagem rápida usando
com
:
Concorda com
, logo é realmente o ponto de interseção.