Calcular o ponto de interseção das retas
r: \left\{\begin{array}{l}y=-5 \\\ z=4 x+1\end{array}\right.
e \quad s: \frac{x-1}{2}=\frac{z-5}{-3} ; y=-5

Passo 1

O que o problema pede: calcular o ponto de interseção entre as retas [r) e s.
Informações dadas:
r:\begin{cases} y=-5\\[4pt] z=4x+1 \end{cases}
s:\quad \frac{x-1}{2}=\frac{z-5}{-3},\quad y=-5
Observação importante: ambas as retas têm a coordenada y\] fixa em \(-5, e as outras coordenadas estão dadas por relações entre x e z.]

Passo 2

Transformar a reta r em forma paramétrica, porque é mais fácil comparar pontos em duas retas quando ambas estão em forma paramétrica.
Como em r só há duas equações e três incógnitas, escolhemos um parâmetro livre. Seja t o parâmetro e tomemos
x=t.
Então, usando as equações de r:
y=-5
z=4x+1=4t+1.
Portanto a forma paramétrica de r é
r:\quad (x,y,z)=(t,\,-5,\,4t+1).
Explicação didática curta: escolher um parâmetro significa dizer “vamos percorrer a reta variando t — cada t dá um ponto (x,y,z) na reta”. Aqui x é o parâmetro porque z é dado em função de x.

Passo 3

Transformar a reta s em forma paramétrica a partir da forma simétrica dada.
Na igualdade
\frac{x-1}{2}=\frac{z-5}{-3}
introduzimos um parâmetro \lambda igual a essa razão:
\lambda=\frac{x-1}{2}=\frac{z-5}{-3}.
Daí obtemos x e z em função de \lambda:
x=1+2\lambda
z=5-3\lambda.
Além disso y=-5 é fixo. Então a forma paramétrica de s é
s:\quad (x,y,z)=(1+2\lambda,\,-5,\,5-3\lambda).
Explicação didática curta: na forma simétrica cada fração é igual a um mesmo parâmetro; isolando você obtém as coordenadas em função desse parâmetro.

Passo 4

Para que haja interseção, deve existir t e \lambda tais que as coordenadas das duas parametrizações coincidam. Igualamos componente a componente:
Como y em ambas é -5, essa componente já coincide. Igualamos x e z:
t=1+2\lambda
4t+1=5-3\lambda
Substituímos t da primeira equação na segunda. Primeiro escrevemos t da primeira:
t=1+2\lambda.
Agora substituímos em 4t+1=5-3\lambda:
4(1+2\lambda)+1=5-3\lambda.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
4+8\lambda+1=5-3\lambda.
Somando termos semelhantes no lado esquerdo:
5+8\lambda=5-3\lambda.
Passamos os termos com \lambda para um lado:
8\lambda+3\lambda=5-5.
Isso dá
11\lambda=0.
Logo
\lambda=0.

Passo 5

Encontrar t a partir de \lambda=0 usando t=1+2\lambda:
t=1+2\cdot 0=1.
Agora obtemos as coordenadas do ponto, usando a parametrização (pode usar qualquer uma das retas; ambas devem dar o mesmo ponto).
Usando r com t=1:
x=t=1
y=-5
z=4t+1=4\cdot 1+1=5.
Fazemos uma checagem rápida usando s com \lambda=0:
x=1+2\cdot 0=1
y=-5
z=5-3\cdot 0=5.
Concorda com r, logo é realmente o ponto de interseção.

Resposta

(1,-5,5)

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