Calcular o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas
r: \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-1 \\\ \mathrm{y}=3\end{array}\right.
e \quad s:\left\{\begin{array}{l}y=4 x-m \\\ z=x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em [\mathbb{R}^3) e pede o valor de m para que elas sejam coplanares.
Dados fornecidos:
\text{r:}\quad \begin{cases} \mathrm{x}=-1\\[4pt] \mathrm{y}=3 \end{cases}
(obs.: aqui (\mathrm{z}] não está especificado, logo é livre)
\text{s:}\quad \begin{cases} y=4x-m\\[4pt] z=x \end{cases}
O que se pede: encontrar o(s) valor(es) de m tais que as retas r e s sejam coplanares.]

Passo 2

Parametrizamos cada reta para trabalhar com pontos e vetores diretores (isso facilita aplicar critérios vetoriais).
Reta r: como x=-1 e y=3 são fixos e z é livre, usamos parâmetro t para z:
r:\\ (x,y,z)=(-1,\,3,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.
Tomamos um ponto particular em r escolhendo t=0:
P_r = (-1,\,3,\,0).
O vetor diretor de r é a variação quando mudamos t, ou seja
v_r = (0,\,0,\,1).
Reta s: tomamos u como parâmetro para x. Então
x=u,\quad y=4u-m,\quad z=u,
logo
s:\\ (x,y,z)=(u,\,4u-m,\,u),\quad u\in\mathbb{R}.
Tomando u=0 como ponto particular:
P_s=(0,\,-m,\,0).
O vetor diretor de s é a variação quando u aumenta de 0 para 1, isto é
v_s=(1,\,4,\,1).

Passo 3

Critério vetorial de coplanaridade de duas retas em \mathbb{R}^3:
Duas retas são coplanares se existir um plano que contenha ambas. Vetorialmente, isso equivale a dizer que o vetor que liga um ponto de uma reta a um ponto da outra reta e os dois vetores diretores são linearmente dependentes, ou seja, o produto escalar misto (produto triplo escalar) entre esses três vetores é zero.
Se definirmos
w = P_s - P_r,
então a condição de coplanaridade é
w\cdot (v_r\times v_s)=0.
Explico rapidamente:
  • v_r\times v_s é um vetor perpendicular ao plano gerado por v_r e v_s.
  • Se w também for perpendicular a esse vetor (produto escalar zero), então w está no mesmo plano gerado por v_r e v_s, logo os três vetores ficam no mesmo plano e as retas são coplanares.

Passo 4

Calculamos w, v_r\times v_s passo a passo.
Primeiro
w = P_s - P_r = (0-(-1),\\\ -m-3,\\\ 0-0)=(1,\,-m-3,\\\ 0).
Agora o produto vetorial v_r\times v_s com v_r=(0,0,1) e v_s=(1,4,1).
Usamos a fórmula via determinante:
v_r\times v_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 4 & 1 \end{vmatrix}.
Expandindo (fazendo componente a componente):
  • Componente \mathbf{i}: 0\cdot 1 - 1\cdot 4 = -4.
  • Componente \mathbf{j}: subtrai-se 0\cdot 1 - 1\cdot 1 = -1, então com o sinal fica -(-1)=+1.
  • Componente \mathbf{k}: 0\cdot 4 - 0\cdot 1 = 0.
Portanto
v_r\times v_s = (-4,\\\ 1,\\\ 0).

Passo 5

Aplicamos a condição w\cdot (v_r\times v_s)=0.
Calculamos o produto escalar:
w\cdot (v_r\times v_s) = (1,\,-m-3,\\\ 0)\cdot(-4,\\\ 1,\\\ 0).
Multiplicando componente a componente e somando:
1\cdot(-4) + (-m-3)\cdot 1 + 0\cdot 0 = -4 - m -3 = -m -7.
Igualando a zero:
-m - 7 = 0 \quad\Rightarrow\quad m = -7.

Passo 6

Verificação intuitiva: para m=-7 as retas na verdade se interceptam (o que garante coplanaridade). Substituindo m=-7 em s, para x=-1 temos
y=4(-1)-(-7) = -4+7=3,\qquad z=x=-1.
No ponto x=-1 obtemos ( -1,\,3,\,-1), que pertence a r (pois em r temos x=-1, y=3 e z pode ser -1). Logo para m=-7 as retas se intersectam em (-1,3,-1), confirmando o resultado.

Resposta

m=-7

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