Dadas as retas l:lx=2 z-4 y=-3 z+6 e t:x-42=y+2=z-2-1, determinar a equação da reta m simultaneamente ortogonal as retas dadas e que passa no ponto de interseção das mesmas.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação da reta m que é simultaneamente ortogonal às retas
reta l: x = 2z - 4, y = -3z + 6
e
reta t:x-42=y+2=z-2-1,
e que passa pelo ponto de interseção delas.
Conteúdo: geometria analítica no espaço—forma paramétrica de reta, interseção de retas e produto vetorial para achar vetor perpendicular a duas direções.

Passo 2

Reescrevemos cada reta em forma vetorial e extraímos os vetores diretores.
Para l, use parâmetro s com z=s, então
l(s) = (-4,,6,,0) + s,(2,,-3,,1),
logo o vetor diretor é vec vl = (2,-3,1).
Para t, igualamos tudo a u:
x=2u+4, y=u-2, z=-u+2
ou
t(u)= (4,,-2,,2) + u,(2,,1,,-1),
logo vec vt = (2,1,-1).

Passo 3

Encontramos o ponto de interseção resolvendo
(-4+2s,,6-3s,,s) ;=;(4+2u,,-2+u,,2-u)
Das componentes:
2s-4 = 2u+4, -3s+6 = u-2, s = 2 - u
Dessas equações vem s=3 e u=-1. Assim o ponto de interseção é
P = l(3) = (-4+2cdot3,;6-3cdot3,;3) = (2,,-3,,3)

Passo 4

Como m deve ser perpendicular a l e a t, seu vetor diretor é o produto vetorial
vec d = vec vl times vec vt = (2,-3,1)times(2,1,-1)
Calculando em coordenadas:
vec d = l((-3)(-1)-1cdot1,;1cdot2-2(-1),;2cdot1-(-3)cdot2r) = (2,;4,;8)
Podemos simplificar para vec d=(1,2,4).

Passo 5

Por fim, a reta m passando por P=(2,-3,3) e com direção (1,2,4) tem equação simétrica
x-21 ;=;y+32 ;=;z-34

Resposta

boxedx-21 = y+32 = z-34

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