Dadas as retas e , determinar a equação da reta simultaneamente ortogonal as retas dadas e que passa no ponto de interseção das mesmas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a equação da reta que é simultaneamente ortogonal às retas
e
e que passa pelo ponto de interseção delas.
Conteúdo: geometria analítica no espaço—forma paramétrica de reta, interseção de retas e produto vetorial para achar vetor perpendicular a duas direções.
Passo 2
Reescrevemos cada reta em forma vetorial e extraímos os vetores diretores.
Para , use parâmetro com , então
logo o vetor diretor é .
Para , igualamos tudo a :
ou
logo .
Passo 3
Encontramos o ponto de interseção resolvendo
Das componentes:
Dessas equações vem s=3 e u=-1. Assim o ponto de interseção é
P = l(3) = (-4+2cdot3,;6-3cdot3,;3) = (2,,-3,,3)
Passo 4
Como m deve ser perpendicular a l e a t, seu vetor diretor é o produto vetorial
vec d = vec vl times vec vt = (2,-3,1)times(2,1,-1)
Calculando em coordenadas:
vec d = l((-3)(-1)-1cdot1,;1cdot2-2(-1),;2cdot1-(-3)cdot2r) = (2,;4,;8)
Podemos simplificar para vec d=(1,2,4).
Passo 5
Por fim, a reta m passando por P=(2,-3,3) e com direção (1,2,4) tem equação simétrica