Ache a equação do plano \alpha que passa pela origem e é paralelo ao plano \beta: x-2 y+3 z+ \sqrt[3]{2020}=0.

Passo 1

O enunciado dá o plano \beta e pede a equação do plano \alpha com duas condições. Informações e pedido explicitados:
  • Plano dado: \beta: x-2y+3z+\sqrt[3]{2020}=0. (Peguei os coeficientes e o termo independente diretamente do enunciado.)
  • Condição 1: o plano \alpha passa pela origem (0,0,0).
  • Condição 2: o plano \alpha é paralelo ao plano \beta.
  • Pedido: encontrar a equação do plano \alpha que satisfaça essas duas condições.

Passo 2

Entender o formato geral de uma equação de plano e o que significam os coeficientes.
  • A forma geral de um plano em \mathbb{R}^3 é
ax+by+cz+d=0,
onde a,b,c,d são números reais.
  • O vetor normal ao plano (vetor perpendicular ao plano) é
\mathbf{n}=(a,b,c).
Esse vetor é muito importante: ele determina a orientação do plano no espaço. Se dois planos são paralelos, seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais).

Passo 3

Extrair o vetor normal do plano \beta.
  • Da equação de \beta, os coeficientes de x,y,z são 1,-2,3. Assim o vetor normal de \beta é
\mathbf{n}_\beta=(1,-2,3).
(Esses valores foram tomados diretamente da equação dada do plano \beta.)

Passo 4

Usar a condição de paralelismo para determinar o normal de \alpha.
  • Como \alpha é paralelo a \beta, o vetor normal de \alpha, \mathbf{n}_\alpha, deve ser proporcional a \mathbf{n}_\beta.
  • Para simplificar, podemos escolher o mesmo vetor normal:
\mathbf{n}_\alpha=(1,-2,3).
  • Logo a equação geral de \alpha tem a forma
1\cdot x+(-2)\cdot y+3\cdot z + d = 0,
ou seja
x-2y+3z+d=0,
onde d é um número a determinar.

Passo 5

Usar a condição de que \alpha passa pela origem para achar d.
  • Se um ponto (x_0,y_0,z_0) pertence ao plano, então substituindo na equação do plano ela é satisfeita.
  • Como o plano \alpha passa pela origem (0,0,0), substitui-se esses valores:
0-2\cdot 0+3\cdot 0 + d = 0 \quad\Rightarrow\quad d=0.
  • Portanto a equação de \alpha fica
x-2y+3z=0.

Passo 6

Comentário final e verificação rápida (para fixar a ideia).
  • A equação encontrada tem exatamente o mesmo vetor normal (1,-2,3) de \beta, por isso os planos são paralelos.
  • Como o termo independente é zero, o plano passa pela origem.
  • Assim a solução é consistente com ambas as condições do enunciado.

Resposta

x-2y+3z=0

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