Ache a equação do plano
que passa pela origem e é paralelo ao plano
.
Passo 1
O enunciado dá o plano
e pede a equação do plano
com duas condições. Informações e pedido explicitados:
- Plano dado:
. (Peguei os coeficientes e o termo independente diretamente do enunciado.) - Condição 1: o plano
passa pela origem . - Condição 2: o plano
é paralelo ao plano . - Pedido: encontrar a equação do plano
que satisfaça essas duas condições.
Passo 2
Entender o formato geral de uma equação de plano e o que significam os coeficientes.
- A forma geral de um plano em
é
onde
são números reais.
- O vetor normal ao plano (vetor perpendicular ao plano) é
Esse vetor é muito importante: ele determina a orientação do plano no espaço. Se dois planos são paralelos, seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais).
Passo 3
Extrair o vetor normal do plano
.
- Da equação de
, os coeficientes de são . Assim o vetor normal de é
(Esses valores foram tomados diretamente da equação dada do plano
.)
Passo 4
Usar a condição de paralelismo para determinar o normal de
.
- Como
é paralelo a , o vetor normal de , , deve ser proporcional a . - Para simplificar, podemos escolher o mesmo vetor normal:
- Logo a equação geral de
tem a forma
ou seja
onde
é um número a determinar.
Passo 5
Usar a condição de que
passa pela origem para achar
.
- Se um ponto
pertence ao plano, então substituindo na equação do plano ela é satisfeita. - Como o plano
passa pela origem , substitui-se esses valores:
- Portanto a equação de
fica
Passo 6
Comentário final e verificação rápida (para fixar a ideia).
- A equação encontrada tem exatamente o mesmo vetor normal
de , por isso os planos são paralelos. - Como o termo independente é zero, o plano passa pela origem.
- Assim a solução é consistente com ambas as condições do enunciado.