4 Dadas as retas r1: x=y=z-1 e r2: s[0,1,0], s in R e os pontos P=(0,1,1) e Q=(0,1,2). Determine a equação da reta r que contém o ponto P, interseta a reta r1 e equidista do ponto Q e da reta r2.

Passo 1

O enunciado pede a reta r que passa por P=(0,1,1), intercepta r1colon x=y=z-1 e satisfaz que a distância de Q=(0,1,2) até r é igual à distância entre r e a reta r2colon(x,y,z)=(0,s,0). Vamos parametrizar r por um vetor direção v=(a,b,c) e depois usar condições de interseção e equidistância.

Passo 2

Parametrizamos
rcolon (x,y,z) = (0,1,1) + t,(a,b,c)
Para que r interseccione r1, deve existir t e u tais que
(0+ta,;1+tb,;1+tc) = (u,u,u+1)
Desse sistema vêm
  1. ta = u,
  2. 1+tb = u,
  3. 1+tc = u+1.
    Da (1) e (3) obtemos ta = tc e, como tneq0 (pois a interseção não é em P), conclui-se a=c.
    Da (1) e (2) vem t(a-b)=1, ou seja
t = 1,a-b,

Passo 3

A distância de Q à reta r é
d1 = l|,(Q-P)times vr|| v|,
onde Q-P=(0,0,1) e v=(a,b,a).
Calcula-se
(Q-P)times v = (0,0,1)times(a,b,a) = (-b,;a,;0),
l|,(Q-P)times vr| =raiza^2+b^2, | v|=raiz2a^2+b^2,
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d1 = raiza^2+b^2raiz2a^2+b^2

Passo 4

A distância entre as retas r e r2 (skim lines) vale
d2 =l|,(P-O)cdotl( utimes vr)r|| utimes v|,
onde escolhemos O=(0,0,0) em r2 e u=(0,1,0) direção de r2.
Temos
utimes v =(0,1,0)times(a,b,a)=(a,0,-a), (P-O)=(0,1,1),
|(a,0,-a)|=|a|raiz2, (0,1,1)cdot(a,0,-a)=-a,
de modo que
d2 = |-a||a|raiz2=1raiz2

Passo 5

Impondo d1=d2, ou seja
raiza^2+b^2raiz2a^2+b^2=1raiz2,
elevando ao quadrado:
a^2+b^22a^2+b^2=12 ;Longrightarrow; 2(a^2+b^2)=2a^2+b^2 ;Longrightarrow; b^2=0 ;Longrightarrow; b=0

Passo 6

Dos passos anteriores segue c=a e b=0, então o vetor direção de r é proporcional a (1,0,1). Assim podemos tomar
v=(1,0,1),
e a reta r fica
rcolon (x,y,z) = (0,1,1) + t,(1,0,1), tin R

Resposta

A equação paramétrica da reta procurada é
rcolon (x,y,z) = (0,1,1) + t,(1,0,1), tin R

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