Represente Geometricamente o campo vetorial dado por f(x, y, z)=x i-y j+ z k.

Passo 1

O enunciado pede para representar geometricamente o campo vetorial
vec f(x,y,z)=x,vec i ;-;y,vec j;+;z,vec k
O conteúdo aqui é análise de campos vetoriais lineares no espaço R^3: vamos ver como cada componente atua nas direções x, y e z e depois combinar esses efeitos para esboçar o padrão de flechas.

Passo 2

Separemos as componentes do campo:
fx(x,y,z)=x, fy(x,y,z)=-y, fz(x,y,z)=z
Isto significa que ao longo do eixo x as setas apontam para fora se x>0 e para dentro (em direção à origem) se x<0; ao longo do eixo y acontece o contrário, pois fy=-y; e ao longo do eixo z as setas também apontam para fora se z>0 e para dentro se z<0.

Passo 3

No plano xy (isto é, z=0) o campo reduz-se a
(x,-y,0)
Esse é o clássico ponto de sela: nas linhas paralelas ao eixo x as setas divergem da origem (fonte), e nas linhas paralelas ao eixo y elas convergem para a origem (sumidouro). As curvas de fluxo formam hipérboles centradas na origem.

Passo 4

Ao considerarmos a direção z também, temos uma expansão ao longo de z (fonte para z>0 e sumidouro para z<0). Logo, o campo total em R^3 combina um ponto de sela no plano xy com uma fonte ao longo de z. As curvas de fluxo no espaço ficam sobre superfícies que são hiperbolóides alinhados com os eixos.

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe no plano z=0 o padrão de sela com flechas saindo ao longo de x e entrando ao longo de y.
  2. Em planos paralelos, para cada valor fixo de z, repita esse padrão, dimensionando as flechas de x e y do mesmo modo.
  3. Acrescente ao longo da direção z flechas verticais que saem da origem para cima quando z>0 e apontam para baixo quando z<0.
O resultado é um campo linear cujo único ponto crítico é a origem, de tipo sela expandida ao longo de z.

Resposta

O campo é um campo linear de tipo ponto de sela no plano xy (diverge em x, converge em y) combinado com uma fonte ao longo do eixo z. Geometricamente vemos hipérboles nos planos z=const e expansão/contração vertical ao longo de z.

Exercícios relacionados