Represente Geometricamente o campo vetorial dado por
.
Passo 1
O enunciado pede para representar geometricamente o campo vetorial
O conteúdo aqui é análise de campos vetoriais lineares no espaço
: vamos ver como cada componente atua nas direções
,
e
e depois combinar esses efeitos para esboçar o padrão de flechas.
Passo 2
Separemos as componentes do campo:
Isto significa que ao longo do eixo
as setas apontam para fora se
e para dentro (em direção à origem) se
; ao longo do eixo
acontece o contrário, pois
; e ao longo do eixo
as setas também apontam para fora se
e para dentro se
.
Passo 3
No plano
(isto é,
) o campo reduz-se a
Esse é o clássico ponto de sela: nas linhas paralelas ao eixo
as setas divergem da origem (fonte), e nas linhas paralelas ao eixo
elas convergem para a origem (sumidouro). As curvas de fluxo formam hipérboles centradas na origem.
Passo 4
Ao considerarmos a direção
também, temos uma expansão ao longo de
(fonte para
e sumidouro para
). Logo, o campo total em
combina um ponto de sela no plano
com uma fonte ao longo de
. As curvas de fluxo no espaço ficam sobre superfícies que são hiperbolóides alinhados com os eixos.
Passo 5
Para esboçar:
- Desenhe no plano
o padrão de sela com flechas saindo ao longo de e entrando ao longo de . - Em planos paralelos, para cada valor fixo de
, repita esse padrão, dimensionando as flechas de e do mesmo modo. - Acrescente ao longo da direção
flechas verticais que saem da origem para cima quando e apontam para baixo quando .
O resultado é um campo linear cujo único ponto crítico é a origem, de tipo sela expandida ao longo de
.
Resposta
O campo é um campo linear de tipo ponto de sela no plano
(diverge em
, converge em
) combinado com uma fonte ao longo do eixo
. Geometricamente vemos hipérboles nos planos
e expansão/contração vertical ao longo de
.