Questão 5. Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de
, e
C=[ll0 & 2 1 & 4]
a)
[cc6 & -8 -1 & -8]
b)
[ll0 & 0 0 & 0]
c)
[ll6 & 0 3 & 8]
d)
[cc-1 & 5 7 & 1]
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das matrizes
são combinações lineares de
O conteúdo é espaços vetoriais e combinação linear. Para cada
vamos buscar escalares
tais que
Passo 2
Escrevendo e igualando entradas, obtemos o sistema
Passo 3
Caso (a):
M=6&-8-1&-8 . Substituindo
m11=6 ,
m12=-8 ,
m21=-1 ,
m22=-8 :
,4x+y=6implies y=6-4x ,
-y+2z=-8implies 2z=-8+y=-2-4ximplies z=-1-2x ,
-2x+2y+z=-1implies -2x+2(6-4x)+(-1-2x)=-12x+11=-1implies x=1 .
Entãoy=2 ,
z=-3 e conferimos
Então
que bate com
m22=-8 . Logo (a) está no span.
Passo 4
Caso (b):
M é a matriz nula. Basta escolher
x=y=z=0 para ter
0A+0B+0C=0 . Portanto (b) está no span.
Passo 5
Caso (c):
M=6&03&8 . Substituindo
m11=6 ,
m12=0 ,
m21=3 ,
m22=8 :
4x+y=6implies y=6-4x ,
-y+2z=0implies 2z=y=6-4ximplies z=3-2x ,
-2x+2y+z=3implies -2x+2(6-4x)+(3-2x)=-12x+15=3implies x=1 .
Logoy=2 ,
z=1 e
Logo
correto. Assim (c) está no span.
Passo 6
Caso (d):
M=-1&57&1 . Substituindo
m11=-1 ,
m12=5 ,
m21=7 ,
m22=1 :
4x+y=-1implies y=-1-4x ,
-y+2z=5implies 2z=5+y=4-4ximplies z=2-2x ,
-2x+2y+z=7implies -2x+2(-1-4x)+(2-2x)=-12x=7implies x=-tfrac712 .
Entãoy=tfrac43 ,
z=tfrac196 . Mas
Então
logo o quarto equação não fecha. Portanto (d) não é combinação linear.
Passo 7
Concluímos que as matrizes (a), (b) e (c) estão em
spanA,B,C , mas a (d) não.
Resposta
(a), (b) e (c) estão em combinação linear de
A,B,C ; (d) não.