Questão 5. Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de
A=[cc4 & 0 -2 & -2], B=[cc1 & -1 2 & 3], e C=[ll0 & 2 1 & 4]
a) [cc6 & -8 -1 & -8]
b) [ll0 & 0 0 & 0]
c) [ll6 & 0 3 & 8]
d) [cc-1 & 5 7 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das matrizes
são combinações lineares de
O conteúdo é espaços vetoriais e combinação linear. Para cada vamos buscar escalares tais que

Passo 2

Escrevendo e igualando entradas, obtemos o sistema

Passo 3

Caso (a): M=6&-8-1&-8. Substituindo m11=6, m12=-8, m21=-1, m22=-8:
,4x+y=6implies y=6-4x,
-y+2z=-8implies 2z=-8+y=-2-4ximplies z=-1-2x,
-2x+2y+z=-1implies -2x+2(6-4x)+(-1-2x)=-12x+11=-1implies x=1.
Então y=2, z=-3 e conferimos
-2cdot1+3cdot2+4cdot(-3)=-2+6-12=-8,
que bate com m22=-8. Logo (a) está no span.

Passo 4

Caso (b): M é a matriz nula. Basta escolher x=y=z=0 para ter 0A+0B+0C=0. Portanto (b) está no span.

Passo 5

Caso (c): M=6&03&8. Substituindo m11=6, m12=0, m21=3, m22=8:
4x+y=6implies y=6-4x,
-y+2z=0implies 2z=y=6-4ximplies z=3-2x,
-2x+2y+z=3implies -2x+2(6-4x)+(3-2x)=-12x+15=3implies x=1.
Logo y=2, z=1 e
-2cdot1+3cdot2+4cdot1=-2+6+4=8,
correto. Assim (c) está no span.

Passo 6

Caso (d): M=-1&57&1. Substituindo m11=-1, m12=5, m21=7, m22=1:
4x+y=-1implies y=-1-4x,
-y+2z=5implies 2z=5+y=4-4ximplies z=2-2x,
-2x+2y+z=7implies -2x+2(-1-4x)+(2-2x)=-12x=7implies x=-tfrac712.
Então y=tfrac43, z=tfrac196. Mas
-2x+3y+4z =; -2l(-tfrac712r)+3cdottfrac43+4cdottfrac196 =tfrac76+4+tfrac766 =tfrac1076neq1,
logo o quarto equação não fecha. Portanto (d) não é combinação linear.

Passo 7

Concluímos que as matrizes (a), (b) e (c) estão em spanA,B,C, mas a (d) não.

Resposta

(a), (b) e (c) estão em combinação linear de A,B,C; (d) não.

Exercícios relacionados