3 Determine a equação da reta que passa no ponto P=(1,-2,1) e interseta as retas reversas
r1:l x=-1+t y=-3+2 t z=t t in R r2:l x=-2+s y=1+s z=s s in R ;

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por
e
O conteúdo é geometria analítica em e impor as condições de interseção com e .

Passo 2

Seja L a reta procurada. Como ela passa por P=(1,-2,1), podemos escrevê-la em forma paramétrica como
L:;(x,y,z) = (1,-2,1) + t,(vx,vy,vz), tinR

Passo 3

Para que L interseccione r1, exista t1 e alpha tais que
(1 + t1vx,;-2 + t1vy,;1 + t1vz) =(-1+alpha,;-3+2alpha,;alpha)
Igualando coordenadas, obtemos
1 + t1vx = -1 + alpha, -2 + t1vy = -3 + 2alpha, 1 + t1vz = alpha
Eliminando alpha e reorganizando, chega-mos a
t1(vy - 2vx)=3, t1(vz - vx)=1

Passo 4

De modo análogo, para que L interseccione r2, exista t2 e beta tais que
(1 + t2vx,;-2 + t2vy,;1 + t2vz) =(-2+beta,;1+beta,;beta)
Isso leva a
1 + t2vx = -2 + beta, -2 + t2vy = 1 + beta, 1 + t2vz = beta,
e, eliminando beta,
t2(vy - vx)=6, t2(vz - vx)=2

Passo 5

Das duas equações em cada caso temos
3vy-2vx=1vz-vx, 6vy-vx=2vz-vx
A primeira dá 3(vz-vx)=vy-2vx e a segunda dá 3(vz-vx)=vy-vx. Para serem compatíveis é necessário vx=0, e então vy=3vz. Podemos escolher vz=1 para simplificar, ficando
(vx,vy,vz)=(0,3,1)

Passo 6

Logo a reta L tem equação paramétrica
L:;(x,y,z) = (1,-2,1) + t,(0,3,1), tinR,
ou seja
x=1, y=-2+3t, z=1+t

Resposta

A equação da reta é
boxed(x,y,z)=(1,-2,1)+t,(0,3,1),;tinR

Exercícios relacionados