Dadas as seguinte integrais, esboce a região de integração e calcule-as.
integralpi2^pi integral0^x^2 1x cos yx d y d x

Passo 1

O enunciado pede a região e o valor da integral dupla
integralx=pi2^piintegraly=0^x^21xcosl(yxr),dy,dx
O conteúdo é cálculo de integrais duplas e integração iterada usando substituição.

Passo 2

A região de integração R no plano (x,y) é dada por
pi2<= x<=pi, 0<= y<= x^2
Geometricamente, é a “faixa” vertical entre x=tfracpi2 e x=pi, limitada abaixo pelo eixo y=0 e acima pela parábola y=x^2.

Passo 3

Calcule a integral interna em y por substituição
t=yxLongrightarrow dy = x,dt,
com y=0implies t=0 e y=x^2implies t=x. Então
integral0^x^21xcos!l(yxr),dy =integral0^xcos t,dt =sin x

Passo 4

Agora a integral em x fica
integralpi2^pisin x,dx =l[-cos xr]pi2^pi =-cospi -l(-costfracpi2r) =1-0 =1

Resposta

A região é
R=(x,y)mid tfracpi2<= x<=pi,;0<= y<= x^2
e o valor da integral dupla é 1.

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