Em cada item, encontre uma equação cartesiana cujo gráfico seja o traço da curva dada por equações paramétricas.
lx=2 sec t y=3 tg t.

Passo 1

Beleza! O problema diz que você tem uma curva dada pelas parametrizações
x=2sec t e y=3tan t, e pede para encontrar a equação cartesiana (ou seja, uma relação direta entre x e y, sem o parâmetro t).
Tema: curvas parametrizadas e identidades trigonométricas.
O que vamos precisar: a identidade básica
tan^2 t + 1 = sec^2 t

Passo 2

Primeiro, vamos isolar as funções trigonométricas:
sec t = x2 e tan t = y3
Isso vem direto de x=2sec t e y=3tan t.

Passo 3

Agora, aplicamos a identidade tan^2 t + 1 = sec^2 t. Substituímos os valores que achamos:
l(y3r)^2 + 1 = l(x2r)^2
Desenvolvendo isso:
y^29 + 1 = x^24
Para ficar mais “bonitinho”, colocamos tudo no mesmo denominador:
y^29 + 99 = x^24 Longrightarrow y^2 + 99 = x^24
Multiplicando ambos os lados por 36 (o m.m.c.\ de 9 e 4), a gente elimina os denominadores:
4(y^2 + 9) = 9x^2 Longrightarrow 4y^2 + 36 = 9x^2
E então isolamos na forma padrão de uma hipérbole:
9x^2 - 4y^2 = 36 Longrightarrow x^24 - y^29 = 1

Resposta

boxedx^24 ;-;y^29;=;1

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