Avalie as integrais:
integral0^pi4 sec ^6 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi4 sec^6x ,dx.
O conteúdo aqui é técnica de integração de potências de função trigonométrica, usando substituição com u=tan x.

Passo 2

Vamos reescrever sec^6x como sec^4xcdotsec^2x e usar a substituição
,u=tan x, o que implica
,du=sec^2x,dx.
Quando x=0, u=0; quando x=pi/4, u=1.
integral0^pi4 sec^6x ,dx = integral0^pi4 sec^4x;sec^2x ,dx = integral0^1 l(1+u^2r)^2 ,du

Passo 3

Expandindo o quadrado, fica
l(1+u^2r)^2 = 1 + 2u^2 + u^4,
logo a integral se separa em
integral0^1 l(1+u^2r)^2 du = integral0^11,du ;+; 2integral0^1u^2,du ;+; integral0^1u^4,du

Passo 4

Calcule cada termo usando a regra integral u^ndu = u^n+1/(n+1):
integral0^11,du = lur|0^1 = 1, integral0^1u^2,du = ltfracu^33r|0^1 = tfrac13, integral0^1u^4,du = ltfracu^55r|0^1 = tfrac15

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
1 ;+; 2cdottfrac13 ;+; tfrac15 = 1 + tfrac23 + tfrac15 = tfrac1515 + tfrac1015 + tfrac315 = tfrac2815

Resposta

integral0^pi4 sec^6x ,dx = tfrac2815

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