Dadas as seguinte integrais, esboce a região de integração e calcule-as.
integral-1^2 integralx^2-4^x-2 x y d y d x

Passo 1

O exercício pede pra esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
integral-1^2integralx^2-4^,x-2x,y,dy,dx
A matéria é Cálculo Multivariável, mais especificamente integrais duplas de tipo I. Vamos precisar:
  • Desenhar as curvas y=x^2-4 (parábola) e y=x-2 (reta) e achar onde se cruzam;
  • Saber integrar polinômios em y (para a interna) e em x (para a externa).

Passo 2

Esboço da região:
  1. Achemos a interseção: x^2-4=x-2;Rightarrow;x^2-x-2=0;Rightarrow;x=-1,,2.
  2. Para xin[-1,2], a parábola y=x^2-4 fica abaixo da reta y=x-2.
  3. Logo a região R é o conjunto
R=(x,y)mid -1<= x<=2,;x^2-4<= y<= x-2
(O desenho: à esquerda em x=-1 e à direita em x=2, a região fica “entre” a parábola que abre pra cima e a reta de inclinação 1.)

Passo 3

Calculemos a integral interna em y:
integralx^2-4^,x-2x,y,dy = xintegralx^2-4^,x-2y,dy = xl[tfracy^22r]y=x^2-4^,y=x-2 = x2l((x-2)^2-(x^2-4)^2r)

Passo 4

Agora a integral externa em x:
I=integral-1^2x2l((x-2)^2-(x^2-4)^2r),dx =12integral-1^2l(-x^5+9x^3-4x^2-12xr),dx
Integramos termo a termo:
integral(-x^5)dx=-tfracx^66,; integral9x^3dx=tfrac9x^44,; integral(-4x^2)dx=-tfrac4x^33,; integral(-12x)dx=-6x^2
Avaliando de -1 a 2
12l[F(2)-F(-1)r] =12l(-tfrac283-l(-tfrac3112r)r) =12l(-tfrac274r) =-tfrac278

Resposta

-278

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