Dadas as seguinte integrais, esboce a região de integração e calcule-as.
integral0^1 integralx^2^x x y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
integral0^1integralx^2^x x,y^2,dy,dx
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de integrais duplas (definir a região R no plano xy) e cálculo por integração iterada.

Passo 2

Identificamos a região de integração
R = (x,y)mid 0 <= x <= 1,;x^2 <= y <= x
No plano xy, ela fica entre a parábola y=x^2 e a reta y=x, desde o ponto de interseção em x=0 até x=1.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=x^2^y=x x,y^2,dy = xintegralx^2^x y^2,dy = xl[tfracy^33r]y=x^2^y=x = x;x^3 - (x^2)^33 = x(x^3 - x^6)3 = x^4 - x^73

Passo 4

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1x^4 - x^73,dx = 13l[tfracx^55 - tfracx^88r]0^1 = 13l(tfrac15 - tfrac18r) = 13cdot 340 = 140

Resposta

O esboço é a região limitada por y=x^2 e y=x para 0<= x<=1, e o valor da integral é 140

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