Dado o polinômio,
a) Obtenha o valor numérico de aplicando o algoritmo do método de Briot-Ruffini-Horner. Resp:
b) Calcule o número de raízes positivas e negativas pela Regra de Descartes.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
P(x)=x^7+2x^6-2x^4-x^3+5x^2+5
e pede (a) calcular P(-5) usando o método de Briot-Ruffini-Horner e (b) determinar o número de raízes positivas e negativas por meio da Regra de Descartes.

Passo 2

Para aplicar o método de Horner em , listamos os coeficientes de (incluindo zeros) e fazemos a divisão sintética:
Na terceira linha, o último valor (remainder) é .

Passo 3

O resto da divisão sintética é -47870, logo
P(-5)=-47870

Passo 4

Para contar raízes positivas, usamos a Regra de Descartes em P(x). Os sinais dos coeficientes são:
+,+,0,-,-,+,0,+. Ignorando zeros, temos a sequência
+,+,-,-,+,+, com trocas de sinal em 2 pontos. Assim
n^+=2 ou 0

Passo 5

Para as raízes negativas, aplicamos a Regra de Descartes em P(-x). Primeiro escrevemos
P(-x)=-x^7+2x^6-2x^4+x^3+5x^2+5
cuja sequência de sinais (ignorando zeros) é
-,+,-,+,+,+, com 3 trocas de sinal. Logo
n^-=3 ou 1

Resposta

P(-5) = -47870; número de raízes positivas: 2 ou 0; número de raízes negativas: 3 ou 1

Exercícios relacionados