Dadas as seguintes equações diferenciais
determine o que se pede em cada item:
Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular em
.
determine o que se pede em cada item:
Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular em
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e precisamos mostrar que ela tem um ponto singular em
. Isso envolve entender sobre pontos singulares em equações diferenciais e analisar essa equação específica para identificar tal ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular. Em uma equação diferencial ordinária de segunda ordem na forma padrão:
um ponto
é chamado de ponto singular se a função
se anula ou não é analítica em
. Se
, então
é um ponto singular. Caso contrário, se
e as funções
,
e
são analíticas em
, então
é um ponto regular.
Passo 3
Agora, vamos comparar a nossa equação com a forma padrão:
Aqui, temos:
-
-
(porque o coeficiente de é 1) -
(porque o coeficiente de é -1)
Passo 4
Para identificar se
é um ponto singular, vamos verificar o valor de
nesse ponto:
Como
se anula em
, segundo a definição que discutimos,
é um ponto singular da equação diferencial dada.
Resposta
A equação diferencial
tem um ponto singular em
.