Dadas as seguintes equações diferenciais
x y'' + y' - y = 0
determine o que se pede em cada item:
Mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular em x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e precisamos mostrar que ela tem um ponto singular em . Isso envolve entender sobre pontos singulares em equações diferenciais e analisar essa equação específica para identificar tal ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto singular. Em uma equação diferencial ordinária de segunda ordem na forma padrão:
um ponto é chamado de ponto singular se a função se anula ou não é analítica em . Se , então é um ponto singular. Caso contrário, se e as funções , e são analíticas em , então é um ponto regular.

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa equação com a forma padrão:
Aqui, temos:
  • (porque o coeficiente de é 1)
  • (porque o coeficiente de é -1)

Passo 4

Para identificar se é um ponto singular, vamos verificar o valor de nesse ponto:
Como se anula em , segundo a definição que discutimos, é um ponto singular da equação diferencial dada.

Resposta

A equação diferencial tem um ponto singular em .

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