Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a forma fechada, ou seja, a expressão em notação de somatório, da série que é assim:
. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre séries e somatórios, além de identificar um padrão geral dos termos dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos observar os termos da série:
,
,
,
, e assim por diante. Dá pra perceber que o denominador de cada fração é o produto de dois números consecutivos, começando de 2 e 3.
Passo 3
Também notamos que os sinais dos termos estão alternando: negativo, positivo, negativo, positivo, etc. Isso indica que a série é alternada, e precisamos incluir uma parte que mude o sinal a cada termo. A gente pode usar
ou
para isso, dependendo do índice que escolhermos.
Passo 4
Vamos definir uma expressão geral para o n-ésimo termo da série. Observando os denominadores, vemos que eles começam em
quando
. Então, para o denominador, podemos escrever
.
Passo 5
Para incluir o sinal alternado, usamos
. Assim, o termo geral fica
.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a série pode ser expressa em notação de somatório da seguinte forma:
Resposta
A forma fechada da série é: