Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório)
-1/(2*3) + 1/(3*4) - 1/(4*5) + 1/(5*6) + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a forma fechada, ou seja, a expressão em notação de somatório, da série que é assim: . Pra resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre séries e somatórios, além de identificar um padrão geral dos termos dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos observar os termos da série: , , , , e assim por diante. Dá pra perceber que o denominador de cada fração é o produto de dois números consecutivos, começando de 2 e 3.

Passo 3

Também notamos que os sinais dos termos estão alternando: negativo, positivo, negativo, positivo, etc. Isso indica que a série é alternada, e precisamos incluir uma parte que mude o sinal a cada termo. A gente pode usar ou para isso, dependendo do índice que escolhermos.

Passo 4

Vamos definir uma expressão geral para o n-ésimo termo da série. Observando os denominadores, vemos que eles começam em quando . Então, para o denominador, podemos escrever .

Passo 5

Para incluir o sinal alternado, usamos . Assim, o termo geral fica .

Passo 6

Agora, juntando tudo, a série pode ser expressa em notação de somatório da seguinte forma:

Resposta

A forma fechada da série é:

Exercícios relacionados