Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
sumn=1^infty(-34)^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos uma série infinita: sumn=1^infty(-34)^n-1. O conteúdo principal é séries geométricas, e pra resolver isso, vamos precisar entender como elas funcionam, identificar a razão da série e aplicar as condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=0^infty ar^n, onde:
  • a é o primeiro termo da série
  • r é a razão comum entre os termos
No nosso caso, como a série começa em n=1, podemos reescrever para facilitar:
sumn=1^infty(-34)^n-1 = sumn=0^infty(-34)^n
Assim, identificamos que:
  • a = 1 (porque quando n=0, (-34)^0 = 1)
  • r = -\frac{3}{4}

Passo 3

Agora, precisamos ver se essa série converge ou diverge. Pra séries geométricas, a regra é:
  • A série converge se |r| < 1
  • A série diverge se |r| ≥ 1
Vamos calcular o valor absoluto de r:
|r| = | -34 | = 34 < 1
Como |r| = 34 que é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos encontrar o valor da soma usando a fórmula das séries geométricas convergentes:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 11 - (-34) = 11 + 34 = 174 = 47

Resposta

A série converge e a soma dela é 47.

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