Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. Temos uma série infinita: . O conteúdo principal é séries geométricas, e pra resolver isso, vamos precisar entender como elas funcionam, identificar a razão da série e aplicar as condições de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
a é o primeiro termo da série
r é a razão comum entre os termos
No nosso caso, como a série começa em , podemos reescrever para facilitar:
Assim, identificamos que:
a = 1 (porque quando , )
r = -\frac{3}{4}
Passo 3
Agora, precisamos ver se essa série converge ou diverge. Pra séries geométricas, a regra é:
A série converge se |r| < 1
A série diverge se |r| ≥ 1
Vamos calcular o valor absoluto de r:
Como |r| = 34 que é menor que 1, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos encontrar o valor da soma usando a fórmula das séries geométricas convergentes: