Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
sumn=1^infty(-1)^n-1 76^n-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série: . O conteúdo aqui é de séries infinitas, especificamente séries geométricas alternadas. Vamos precisar entender como identificar se uma série geométrica converge ou diverge e, se convergir, calcular a soma dela.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Observe que sumn=1^infty (-1)^n-1 cdot 7 (16)^n-1 pode ser escrita como . Então, a série fica:

Passo 3

Vamos identificar os termos da série. Aqui, o termo geral é . Isso mostra que temos uma série geométrica com razão .

Passo 4

Para uma série geométrica , ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.

Passo 5

No nosso caso, a razão |r| = | -16 | = 16 < 1 . Calculando o valor absoluto:
Como , a série converge.

Passo 6

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica é:
S = a1 - r
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 7

Identificando o primeiro termo a = 7 (16)^0 = 7 times 1 = 7 da nossa série. Quando :

Passo 8

Substituindo S = 71 - (-16) = 71 + 16 = 776 = 7 times 67 = 6 e na fórmula da soma:

Resposta

A série converge e a soma dela é 6.

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