Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série: . O conteúdo aqui é de séries infinitas, especificamente séries geométricas alternadas. Vamos precisar entender como identificar se uma série geométrica converge ou diverge e, se convergir, calcular a soma dela.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a análise. Observe que pode ser escrita como . Então, a série fica:
Passo 3
Vamos identificar os termos da série. Aqui, o termo geral é . Isso mostra que temos uma série geométrica com razão .
Passo 4
Para uma série geométrica , ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.
Passo 5
No nosso caso, a razão . Calculando o valor absoluto:
Como , a série converge.
Passo 6
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica é:
S = a1 - r
onde é o primeiro termo e é a razão.
Passo 7
Identificando o primeiro termo a = 7 (16)^0 = 7 times 1 = 7 da nossa série. Quando :
Passo 8
Substituindo S = 71 - (-16) = 71 + 16 = 776 = 7 times 67 = 6 e na fórmula da soma: