Dadas as seguintes funções, aplique o procedimento de linearização log vs log, e mostre que as novas funções são lineares, identificando o coeficiente angular e linear.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para aplicar o procedimento de linearização log versus log, mostrar que a função transformada é uma função linear e identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta. Informações relevantes fornecidas: a expressão
com
constante e a dependência de
em potência de
. Observação necessária (para a operação de log ficar bem definida): precisamos que
e
para que
e
sejam números reais.
Passo 2
O que significa “linearização log vs log”? É uma técnica em que tomamos logaritmos de ambos os lados da equação para transformar uma lei de potência numa reta em um gráfico log–log. Vou explicar as propriedades de log que vamos usar:
Essas duas identidades são suficientes para transformar
. Além disso, lembro a forma geral de uma reta:
onde
é o coeficiente angular (inclinação) e
é o coeficiente linear (intercepto em
). Nosso objetivo é escrever a relação entre duas variáveis transformadas no formato acima.
Passo 3
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação
. Isso significa calcular
de cada membro da igualdade:
Agora usamos a propriedade
com
e
:
Em seguida aplicamos
(pela propriedade
):
Passo 4
Para enxergar a forma de reta, definimos novas variáveis (essas substituições são só para clareza na interpretação geométrica):
Substituindo na expressão do Passo 3 obtemos
Agora isto está exatamente na forma
. Portanto a relação entre
e
é linear.
Passo 5
Identificamos os coeficientes da reta:
- coeficiente angular (inclinação)
é o número que multiplica . Aqui
Isto significa que, num gráfico de
versus
, quando
aumenta de
unidade,
aumenta de
unidades — em outras palavras, o expoente da potência aparece como a inclinação da reta no gráfico log–log.
- coeficiente linear (intercepto)
é o termo independente em . Aqui
Isso significa que a reta cruza o eixo
(quando
, ou seja
) em
.
Passo 6
Comentário prático e alternativa: se preferirmos usar log na base
em vez de
, a transformação funciona igual, porque
e
. Assim a forma é
mantendo coeficiente angular
e coeficiente linear
. A escolha da base do log só muda a unidade do eixo, não a inclinação numérica quando se mede inclinação em termos de unidades de log.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar: se
, então a reta é
Tomando dois valores de
, por exemplo
(
) e
(
):
- em
: . - em
: .
A diferença emé , que corresponde à inclinação .