Dadas as seguintes funções, aplique o procedimento de linearização log vs log, e mostre que as novas funções são lineares, identificando o coeficiente angular e linear.
y(x)=A x^{3}

Passo 1

O enunciado fornece a função y(x)=A x^{3} e pede para aplicar o procedimento de linearização log versus log, mostrar que a função transformada é uma função linear e identificar o coeficiente angular e o coeficiente linear dessa reta. Informações relevantes fornecidas: a expressão y(x)=A x^{3} com A constante e a dependência de y em potência de x. Observação necessária (para a operação de log ficar bem definida): precisamos que A>0 e x>0 para que \ln A e \ln x sejam números reais.

Passo 2

O que significa “linearização log vs log”? É uma técnica em que tomamos logaritmos de ambos os lados da equação para transformar uma lei de potência numa reta em um gráfico log–log. Vou explicar as propriedades de log que vamos usar:
\ln(ab)=\ln a+\ln b
\ln(a^{k})=k\ln a
Essas duas identidades são suficientes para transformar y(x)=A x^{3}. Além disso, lembro a forma geral de uma reta:
Y = mX + b
onde m é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear (intercepto em Y). Nosso objetivo é escrever a relação entre duas variáveis transformadas no formato acima.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados da equação y(x)=A x^{3}. Isso significa calcular \ln de cada membro da igualdade:
\ln y = \ln(A x^{3}).
Agora usamos a propriedade \ln(ab)=\ln a+\ln b com a=A e b=x^{3}:
\ln y = \ln A + \ln(x^{3}).
Em seguida aplicamos \ln(x^{3})=3\ln x (pela propriedade \ln(a^{k})=k\ln a):
\ln y = \ln A + 3\ln x.

Passo 4

Para enxergar a forma de reta, definimos novas variáveis (essas substituições são só para clareza na interpretação geométrica):
Y \equiv \ln y,\qquad X \equiv \ln x.
Substituindo na expressão do Passo 3 obtemos
Y = 3X + \ln A.
Agora isto está exatamente na forma Y = mX + b. Portanto a relação entre Y e X é linear.

Passo 5

Identificamos os coeficientes da reta:
  • coeficiente angular (inclinação) m é o número que multiplica X. Aqui
m = 3.
Isto significa que, num gráfico de \ln y versus \ln x, quando \ln x aumenta de 1 unidade, \ln y aumenta de 3 unidades — em outras palavras, o expoente da potência aparece como a inclinação da reta no gráfico log–log.
  • coeficiente linear (intercepto) b é o termo independente em Y. Aqui
b = \ln A.
Isso significa que a reta cruza o eixo Y (quando \ln x=0, ou seja x=1) em \ln A.

Passo 6

Comentário prático e alternativa: se preferirmos usar log na base 10 em vez de \ln, a transformação funciona igual, porque \log_{10}(x^{3})=3\log_{10}x e \log_{10}(A x^{3})=\log_{10}A+3\log_{10}x. Assim a forma é
\log_{10} y = 3\log_{10} x + \log_{10} A,
mantendo coeficiente angular 3 e coeficiente linear \log_{10} A. A escolha da base do log só muda a unidade do eixo, não a inclinação numérica quando se mede inclinação em termos de unidades de log.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar: se A=2, então a reta é
\ln y = 3\ln x + \ln 2.
Tomando dois valores de x, por exemplo x=1 ( \ln x=0) e x=e ( \ln x=1):
  • em x=1: \ln y = \ln 2.
  • em x=e: \ln y = 3\cdot 1 + \ln 2 = 3 + \ln 2.
    A diferença em \ln y é 3, que corresponde à inclinação m=3.

Resposta

\ln y = \ln A + 3\ln x. Coeficiente angular: 3. Coeficiente linear: \ln A.

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