Um objeto acelera com módulo de 0,543 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} quando recebe a ação de três forças: \vec{F}_{1}=27,7 \hat{\imath}+16,0 \hat{\jmath} ( N ); \vec{F}_{2}=55,0 \hat{\imath}(\mathrm{~N}) e \vec{F}_{3}=-20,5 \hat{\imath}-35,5 \hat{\jmath}(\mathrm{~N}). Determine:
a) (RA2) O vetor força resultante do objeto;
b) (RA2) A massa do objeto;
c) (RA2) A direção da aceleração;

Passo 1

O enunciado fornece as três forças atuando no objeto e o módulo da aceleração. As perguntas são claras: calcular (a) a força resultante, (b) a massa do objeto e (c) a direção da aceleração. Dados fornecidos:
\vec{F}_{1}=27,7\hat{\imath}+16,0\hat{\jmath}\\ \mathrm{(N)}
\vec{F}_{2}=55,0\hat{\imath}\\ \mathrm{(N)}
\vec{F}_{3}=-20,5\hat{\imath}-35,5\hat{\jmath}\\ \mathrm{(N)}
\text{o módulo da aceleração: }|\vec{a}|=0,543\\ \mathrm{m/s^{2}}óçã
O que se pede:
a) \vec{F}_{R} (vetor força resultante);
b) m (massa do objeto);
c) direção da aceleração (ângulo em relação ao eixo +x, indicando se está acima ou abaixo).

Passo 2

Como somar vetores: para somar forças em componentes cartesianas, somamos separadamente as componentes x e y. Isto decorre da decomposição vetorial: um vetor é totalmente determinado por suas componentes, e a soma é componente a componente. Escrevendo as componentes dadas:
F_{1x}=27,7,\quad F_{1y}=16,0
F_{2x}=55,0,\quad F_{2y}=0
F_{3x}=-20,5,\quad F_{3y}=-35,5
A componente x da resultante é
F_{Rx}=F_{1x}+F_{2x}+F_{3x}.
Substituindo:
F_{Rx}=27,7+55,0+(-20,5)=62,2\\ \mathrm{N}.
A componente y da resultante é
F_{Ry}=F_{1y}+F_{2y}+F_{3y}.
Substituindo:
F_{Ry}=16,0+0+(-35,5)=-19,5\\ \mathrm{N}.
Logo o vetor força resultante (em forma componente) é
\vec{F}_{R}=62,2\hat{\imath}-19,5\hat{\jmath}\\ \mathrm{(N)}.

Passo 3

Agora calculamos o módulo da força resultante. Fórmula do módulo (norma) de um vetor em 2D: para \vec{F}_{R}=(F_{Rx},F_{Ry}),
|\vec{F}_{R}|=\sqrt{F_{Rx}^{2}+F_{Ry}^{2}}.
Aqui F_{Rx}=62,2 e F_{Ry}=-19,5. Então:
|\vec{F}_{R}|=\sqrt{(62,2)^{2}+(-19,5)^{2}}.
Calcule passo a passo:
(62,2)^{2}=3868,84,\qquad (19,5)^{2}=380,25,
3868,84+380,25=4249,09,
|\vec{F}_{R}|=\sqrt{4249,09}\approx65,185\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente pelas entradas dadas (3 algarismos significativos), podemos usar |\vec{F}_{R}|\approx65,2\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Usamos a segunda lei de Newton na forma vetorial:
\vec{F}_{R}=m\vec{a}.
Aqui \vec{F}_{R} é a resultante que encontramos, m é a massa que queremos, e \vec{a} é a aceleração do objeto. Tomando módulos (pois a direção de \vec{a} é a mesma de \vec{F}_{R}), temos
m=\frac{|\vec{F}_{R}|}{|\vec{a}|}.
Substituindo os valores:
m=\frac{65,185\\ \mathrm{N}}{0,543\\ \mathrm{m/s^{2}}}\approx120,05\\ \mathrm{kg}.
Arredondando aos três algarismos significativos (compatível com os dados), fica
m\approx120\\ \mathrm{kg}.
Explicação rápida: usamos módulos porque m é escalar e a magnitude da força divide a magnitude da aceleração.

Passo 5

Direção da aceleração: a aceleração tem a mesma direção da força resultante. Para achar o ângulo \theta medido a partir do eixo +x (no sentido anti-horário positivo), usamos a função arco-tangente:
\theta=\arctan\!\left(\frac{F_{Ry}}{F_{Rx}}\right).
Aqui F_{Rx}=62,2>0 e F_{Ry}=-19,5<0, então o vetor está no quarto quadrante (à direita e para baixo). Calculando:
\theta=\arctan\!\left(\frac{-19,5}{62,2}\right)=\arctan(-0,3138\dots)\approx-17,4^{\circ}.
Interpretação: o ângulo -17,4^{\circ} significa 17,4^{\circ} abaixo do eixo +x (ou, se preferir um ângulo positivo medido a partir do eixo +x no sentido anti-horário, seria 360^{\circ}-17,4^{\circ}=342,6^{\circ}). Para enunciados de movimento no plano é comum dizer "abaixo do eixo +x". Portanto:
\text{direção: }17,4^{\circ}\\ \text{abaixo do eixo }+x.çã

Resposta

\vec{F}_{R}=62,2\hat{\imath}-19,5\hat{\jmath}\\ \mathrm{N}
m\approx120\\ \mathrm{kg}
\theta\approx-17,4^{\circ} (ou 17,4^{\circ} abaixo do eixo +x)

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